¿Cuándo se evalúa el valor numérico de Lagrangian en el caparazón como un diferencial completo?

Question

¿Cuándo se evalúa el valor numérico de Lagrangian en el caparazón como un diferencial completo?

Física
teoría de campo
términos-límite
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
principio variacional

Blazej

Me di cuenta recientemente de que para muchas ecuaciones de campo, el Lagrangiano evaluado en el caparazón (es decir, usando ecuaciones de movimientos) es una derivada completa, una divergencia o algo así, o en otras palabras, un término límite. Esto es cierto para Weyl, Dirac, Klein-Gordon (sin potencial externo), Maxwell, Schrödinger clásico. Me pregunto si estos son casos especiales de algún patrón o principio general.

qmecanico

Quizá irónicamente, para una partícula puntual no relativista en un campo gravitacional uniforme

L = \frac{m}{2} {\dot{y}}^{2} - m g y

$L=\frac{m}{2}\dot{y}^2 -mgy$ (que suele ser uno de los primeros sistemas que uno aprende), la acción

S = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t L \approx - \frac{1}{2} m g \int_{t_{i}}^{t_{f}} d t y

$S=\int_{t_i}^{t_f}\!dt~L \approx -\frac{1}{2}mg\int_{t_i}^{t_f}\!dt~y$ no es un término límite en la capa. (Por supuesto, este Lagrangiano no es homogéneo.)

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¿Cuándo se evalúa el valor numérico de Lagrangian en el caparazón como un diferencial completo?

Quizá irónicamente, para una partícula puntual no relativista en un campo gravitacional uniforme $L=\frac{m}{2}\dot{y}^2 -mgy$ (que suele ser uno de los primeros sistemas que uno aprende), la acción $S=\int_{t_i}^{t_f}\!dt~L \approx -\frac{1}{2}mg\int_{t_i}^{t_f}\!dt~y$ no es un término límite en la capa. (Por supuesto, este Lagrangiano no es homogéneo.)

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Teorema : dejar $L$ ser una función homogénea de grado $k$ ; entonces el lagrangiano on-shell es una derivada total.

Demostración : según el teorema de la función homogénea de Euler ,

\begin{matrix} (1) & k L (q, \dot{q}) = q \frac{\partial L}{\partial q} + \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \end{matrix}

$k\ L(q,\dot q)=q\frac{\partial L}{\partial q}+\dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q}\tag{1}$

Por otro lado, debido a las ecuaciones de Euler-Lagrange ,

\begin{matrix} (2) & (1) = q \frac{\partial L}{\partial q} + \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \overset{mi L}{=} q \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) + \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \end{matrix}

$(1)=q\frac{\partial L}{\partial q}+\dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q}\stackrel{\mathrm{EL}}{=}q\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)+\dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q} \tag{2}$

Finalmente, integrando por partes,

\begin{matrix} (3) & (2) = q \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) + \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \overset{I B PAG}{=} - \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + derivada total = derivada total \end{matrix}

$(2)=q\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)+\dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q}\stackrel{\mathrm{IBP}}{=}-\dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q}+\dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q}+\text{total derivative}=\text{total derivative}\tag{3}$ que es lo que queríamos probar. La generalización a la teoría de campos es sencilla.

En cuanto a un ejemplo de un lagrangiano no homogéneo, tome

\begin{matrix} (4) & L = \frac{1}{2} {\dot{q}}^{2} + {mi}^{q} \end{matrix}

$L=\frac{1}{2}\dot q^2+\mathrm e^q\tag{4}$ que, cuando se evalúa en el shell, es

\begin{matrix} (5) & L = {mi}^{q} (1 - \frac{q}{2}) \end{matrix}

$L=\mathrm e^q\left(1-\frac{q}{2}\right)\tag{5}$ es decir, esto no es un derivado total. Para ver un ejemplo más realista, consulte el comentario anterior de QMechanics ("una partícula puntual no relativista en un campo gravitatorio uniforme").

Es una observación interesante que esto implica que para todas las teorías con Lagrangianos cuadráticos se puede elegir de manera que Lagrangian se desvanezca en el caparazón. Sin embargo, uno podría perder invariancia de medida (ejemplo: electrodinámica) o realidad de acción (ejemplo: ecuación de Shrodinger) en este proceso.

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Blazej

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Blazej

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