¿De qué variables depende la acción SSS?

1) En primer lugar, el Lagrangiano $L(q(t),v(t),t)$en algún momento$t$es una función de:

1. la posición instantánea$q(t)$En el momento$t$;
2. la velocidad instantanea$v(t)$En el momento$t$; y
3. el tiempo$t$(también conocido como dependencia del tiempo explícita).

2) En segundo lugar, la acción (fuera de la cáscara)

$$\tag{1} S[q]~:=~ \left. \int_{t_i}^{t_f}\! dt \ L(q(t),v(t),t)\right|_{v(t)=\dot{q}(t)}$$

es un funcional de la curva/ruta de posición completa$q:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$para todos los tiempos$t$en el intervalo$[t_i,t_f]$.

3) En tercer lugar, si se imponen condiciones de contorno (BC), por ejemplo, Dirichlet BC,

$$\tag{2} q(t_i)~=~q_i \qquad \text{and}\qquad q(t_f)~=~q_f,$$

entonces también hay una noción de una acción en el caparazón (Dirichlet) $^1$

$$\tag{3} S(q_f,t_f;q_i,t_i)~:=~S[q_{\rm cl}]$$

dónde$q_{\rm cl}:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$es el camino clásico, que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange con el BC de Dirichlet (2). La acción en el caparazón$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$es una función de

1. el tiempo inicial$t_i$;
2. la posición inicial$q_i$;
3. el tiempo final$t_f$; y
4. la posición final$q_f$.

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$^1$Véase también, por ejemplo, MTW Sección 21.1. Para la acción en el caparazón$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$para estar bien definido, debe existir un único camino clásico con el BC (2). (Aquí las palabras on-shell y off-shell se refieren a si las ecuaciones de Euler-Lagrange se cumplen o no).