Ecuaciones de Euler-Lagrange con fuerza no conservativa (ejemplo)

Question

Ecuaciones de Euler-Lagrange con fuerza no conservativa (ejemplo)

Genzelis

Estoy tratando de entender cómo usar la formulación de Euler-Lagrange cuando mi sistema está sujeto a fuerzas externas. Considere el sistema que se muestra a continuación:

Definamos el lagrangiano, como siempre, como $L = K - V$ , donde las fuerzas externas no juegan papel alguno.

Si $F_x \equiv F_\theta \equiv 0$ , la formulación estándar de Euler-Lagrange para el sistema sería:

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = 0

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0$

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) - \frac{\partial L}{\partial θ} = 0

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} \right ) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$

Ahora, según un artículo que estoy leyendo, si incluimos la fuerza $F_x(t)$ (es decir $F_x(t) \not \equiv 0$ ), la primera ecuación ahora debe ser reemplazada por

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = F_{X} (t)

$\frac{d}{dt} \left ( \frac{\partial L}{\partial \dot x} \right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = F_x(t)$

Esto tiene sentido, por supuesto, pero estoy tratando de entender cómo extender este procedimiento a diferentes fuerzas y estoy un poco perdido. Entonces, por ejemplo, ahora incluyamos la fuerza $F_\theta(t)$ . ¿Cómo cambiarían las ecuaciones de Euler Lagrange para explicarlo?

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/153302/2451 , physics.stackexchange.com/q/283238/2451 y enlaces allí.

Genzelis

@Qmechanic Me había topado con esa pregunta antes y no encontré que la respuesta fuera lo suficientemente clara. Además, esa es una pregunta general, mientras que la mía pregunta sobre un ejemplo específico.

qmecanico

Hola @LGenzelis: La pregunta (v4) no está clara. ¿Estás hablando de fuerzas externas (texto principal) o fuerzas no conservativas (título)? ¿Qué variables tiene la fuerza

F_{i}

$F_i$ ¿depender de? Se cambia el título (v4).

Respuestas (1)

Ecuaciones de Euler-Lagrange con fuerza no conservativa (ejemplo)

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/153302/2451 , physics.stackexchange.com/q/283238/2451 y enlaces allí.
@Qmechanic Me había topado con esa pregunta antes y no encontré que la respuesta fuera lo suficientemente clara. Además, esa es una pregunta general, mientras que la mía pregunta sobre un ejemplo específico.
Hola @LGenzelis: La pregunta (v4) no está clara. ¿Estás hablando de fuerzas externas (texto principal) o fuerzas no conservativas (título)? ¿Qué variables tiene la fuerza $F_i$ ¿depender de? Se cambia el título (v4).

Diracología · Answer 1

Si la fuerza no se deriva de un potencial, se dice que el sistema es poligénico y no se aplica el principio de acción mínima. Sin embargo, las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden derivar del principio de d'Alembert .

Si descomponemos las fuerzas aplicadas (o especificadas) que actúan sobre la partícula $\alpha$ en monogénico (derivado de un potencial), $\vec F_\alpha^m$ y fuerzas poligénicas, $\vec F_\alpha^p$ , entonces el Principio de d'Alembert dice,

\sum_{α} ({\vec{F}}_{α}^{metro} + {\vec{F}}_{α}^{pag} - {\dot{\vec{pag}}}_{α}) \cdot d {\vec{r}}_{α} = 0.

$\sum_\alpha(\vec F_\alpha^m+\vec F_\alpha^p-\dot{\vec p}_\alpha)\cdot\delta\vec r_\alpha=0.$ El siguiente paso es escribir esta ecuación en términos de coordenadas generalizadas

q_{i}

$q_i$ . El resultado es la siguiente ecuación de movimiento

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = q_{i}^{metro} + q_{i}^{pag},

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i^m+Q_i^p,$ dónde

\begin{matrix} (1) & q_{i}^{pag} \equiv \sum_{α} {\vec{F}}_{α} \cdot \frac{\partial {\vec{r}}_{α}}{\partial q_{i}} . \end{matrix}

$Q_i^p\equiv\sum_\alpha\vec F_\alpha\cdot\frac{\partial \vec r_\alpha}{\partial q_i}.\tag1$

La fuerza monogénica se puede obtener de un potencial $V$ ,

q_{i}^{metro} = - \frac{\partial V}{\partial q_{i}},

$Q_i^m=-\frac{\partial V}{\partial q_i},$ por lo tanto la ecuación de movimiento

\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} + \frac{\partial V}{\partial q_{i}} = q_{i}^{pag} .

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial V}{\partial q_i}=Q_i^p.$ Si el potencial no depende de las velocidades, entonces esta ecuación también se puede escribir como

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = q_{i}^{pag}, \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^p,\tag2$ dónde

L = T - V

$L=T-V$ es la función de Lagrange. La ecuación (2) es la que utilizará, junto con la ecuación. (1) para obtener la fuerza generalizada

Q_{i}^{p}

$Q_i^p$ .

Editar:

Apliquemos ahora este enfoque al ejemplo planteado en la pregunta. Hay dos fuerzas externas, que se pueden escribir como $\vec F_1 = [F_x(t) \; , 0]^T$ y $\vec F_2 = [0 \; , -F_\theta(t)]^T$ . La posición de cada cuerpo (considerado como una masa puntual) es $\vec r_1 = [x \; , 0]^T$ y $\vec r_2 = [x + l \sin \theta \; , -l \cos \theta]^T$ . Por lo tanto, calculamos

q_{1}^{pag} = {\vec{F}}_{1} \cdot \frac{\partial {\vec{r}}_{1}}{\partial X} + {\vec{F}}_{2} \cdot \frac{\partial {\vec{r}}_{2}}{\partial X} = F_{X} (t)

$Q_1^p = \vec F_1 \cdot\frac{\partial \vec r_1}{\partial x} + \vec F_2 \cdot\frac{\partial \vec r_2}{\partial x} = F_x(t)$ y

q_{2}^{pag} = {\vec{F}}_{1} \cdot \frac{\partial {\vec{r}}_{1}}{\partial θ} + {\vec{F}}_{2} \cdot \frac{\partial {\vec{r}}_{2}}{\partial θ} = - F_{θ} (t) yo pecado θ .

$Q_2^p = \vec F_1 \cdot\frac{\partial \vec r_1}{\partial \theta} + \vec F_2 \cdot\frac{\partial \vec r_2}{\partial \theta} = -F_\theta(t) l \sin \theta .$

Finalmente, las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) - \frac{\partial L}{\partial X} = F_{X} (t)

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\right )-\frac{\partial L}{\partial x}= F_x(t)$

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{θ}}) - \frac{\partial L}{\partial θ} = - F_{θ} (t) yo pecado θ,

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta}\right )-\frac{\partial L}{\partial \theta}=-F_\theta(t) l \sin \theta,$ dónde

L = T - V = \frac{METRO}{2} {‖ \dot{{\vec{r}}_{1}} ‖}^{2} + \frac{metro}{2} {‖ \dot{{\vec{r}}_{2}} ‖}^{2} + metro gramo yo porque θ .

$L = T - V = \frac{M}{2} \left\lVert\dot {\vec r_1}\right\rVert^2 + \frac{m}{2} \left\lVert\dot {\vec r_2}\right\rVert^2 + m g l \cos \theta .$

Gracias. ¿Podría ampliar su respuesta para aplicar su procedimiento a mi ejemplo? Tenga en cuenta que $F_\theta(t)$ es una función arbitraria del tiempo. Si lo hace más fácil, reemplácelo por cualquier función conocida (por ejemplo, $F_\theta(t) = t \sin t$ )
@LGenzelis Es bastante sencillo. Te dejo para que hagas eso. Escriba el vector de fuerza y el vector de posición de la lenteja y use la ecuación (1). La suma contiene un solo término y la coordenada generalizada es $\theta$ .
muchas gracias. Edité su respuesta para aplicar la metodología que sugirió a mi problema de ejemplo. Una vez que haya aceptado las ediciones, marcaré esto como la respuesta aceptada. Solo un par de preguntas rápidas más sobre su respuesta. 1) ¿Este enfoque será aplicable a cualquier tipo de fuerza? Digamos que tengo fuerzas que dependen de las velocidades (como la fricción), ¿es tan simple como conectar estas fuerzas en la ecuación? (1)? Y el último, 2) escribió en su respuesta "Si el potencial no depende de las velocidades": ¿puede un potencial depender de las velocidades? Nunca he visto tal cosa.
1) Sí, es un procedimiento general, válido incluso para fuerzas disipativas. Por ejemplo, puede buscar en Google sobre la función de disipación de Rayleigh, que es un ejemplo particular. 2) Esos potenciales normalmente se llaman potencial generalizado. Un ejemplo particular es una partícula en presencia de un campo electromagnético. Puede obtener más información sobre ambas preguntas en la sección 1.5 de Goldstein, tercera ed.
El término $\alpha$ está asociado a los grados de libertad del sistema, ¿no?

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Vajra

¿Por qué no podemos atribuir un potencial (posiblemente dependiente de la velocidad) a una fuerza disipativa?

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