Modelado de fuerzas externas en dinámica lagrangiana

Una fuerza externa$F_{\rm ext}(t)$aparece como un término fuente$qF_{\rm ext}(t)$en el lagrangiano. Por ejemplo, si la ecuación de movimiento es,

$$\tag{1} m\ddot{q}~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q} + F_{\rm ext}(t),$$

entonces el lagrangiano dice

$$\tag{2} L(q,\dot{q},t)~=~\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q)+ qF_{\rm ext}(t).$$

En el caso de que la fuerza sea conservativa , modelaría la fuerza agregando un término potencial adicional$\psi$al lagrangiano tal que:

$$\vec{F} = -\nabla\psi$$

Si el lagrangiano no forzado fuera

$$L_{\text{unforced}} = T - V$$ la versión forzada es ahora $$L_{\text{forced}} = T - (V + \psi)$$

Por lo que sé, modelar fuerzas no conservativas en el marco de Lagrange es difícil, por lo que me interesaría si alguien sabe cómo se hace (o incluso si puede ser en general).

Leí la respuesta en alguna parte, pero ahora, cuando buscaba verificarla, encontré esta pregunta. Así que estoy haciendo esto desde una memoria con fugas.

Lo que haces es calcular el trabajo realizado,$W(q)$, por la fuerza en función de cómo$q$(la posición generalizada) cambia. Entonces la modificación a las ecuaciones de Euler-Lagrange es:

$$\frac d{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{\partial W}{\partial q}$$

Por ejemplo, considere un péndulo doble, donde el primer péndulo tiene una longitud$L_1$, tiene una masa$m_1$unido a su extremo, y forma un ángulo$\theta_1$a la vertical, y de éste cuelga un segundo péndulo de longitud$L_2$, teniendo una masa$m_2$unido a su extremo, y formando un ángulo$\theta_2$a la vertical Supongamos que aplicamos una fuerza$F$a la masa al final del segundo péndulo, en la dirección horizontal. Entonces

$$L = \tfrac12 L_1^2 m_1 \dot \theta_1^2 + \tfrac12 L_2^2 m_2 \dot \theta_2^2 - m_1 g L_1 \cos(\theta_1) - m_2 g \bigl(L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_2)\bigr)$$ y $$W = F \bigl(L_1 \sin(\theta_1) + L_2 \sin(\theta_2)\bigr) .$$ La última fórmula es simplemente fuerza por distancia. Solo necesita ser 'localmente verdadero', es decir, correcto para pequeñas perturbaciones de $q$.

Para un solo péndulo con un par constante$T$aplicado en el pivote, tendríamos

$$W = T \theta .$$ Entonces la ecuación de movimiento sería $$\ddot \theta + \frac g L \sin \theta = \frac T {L^2 m} .$$

Yo diría que cuando en un sistema están presentes fuerzas externas no conservativas, el modelo se diseña mediante el principio de d'Alabert, es decir, el principio del trabajo virtual, que generaliza Euler-Lagrange.

El principio de D'Alamber (principio del trabajo virtual) establece que la variación

$$\int_{t_0}^{t_1}\, \Big(\, \delta L\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, - \,Q(q,\, \dot{q}, t) \cdot \delta q \, \, \Big) dt \, = \, 0$$ para cualquier variación$\delta q = \delta q(t)$de la trayectoria del sistema$q = q(t)$que conecta dos eventos fijos$(q_0, t_0)$y$(q_1, t_1)$. Al igual que en el caso de Euler-Lagrange, una trayectoria$q = q(t)$es una solución, exactamente cuando $$\int_{t_0}^{t_1} \left( \, \Big[\,\, \frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big)\,\Big] \cdot \delta q \, - \, Q(q,\, \dot{q}, t) \cdot \delta q \, \, \right) dt \, = \,$$ $$\int_{t_0}^{t_1} \left( \, \Big[\,\, \frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, - \, Q(q,\, \dot{q}, t) \, \Big] \cdot \delta q \, \, \right) dt \, = \, 0$$ lo que da las ecuaciones $$\frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, = \, Q(q,\, \dot{q}, t)$$