Fuerza generalizada que surge de un potencial dependiente de la velocidad

Question

Fuerza generalizada que surge de un potencial dependiente de la velocidad

trevor kafka

En la diapositiva 16 de esta presentación se afirma sin demostración que dado un potencial dependiente de la velocidad $U(q,\dot q, t)$ , la fuerza generalizada asociada es

\begin{matrix} (1) & q_{j} = - \frac{\partial tu}{\partial q^{j}} + \frac{d}{d t} \frac{\partial tu}{\partial {\dot{q}}^{j}} . \end{matrix}

$Q_j = - \frac{\partial U}{\partial q^j} + \frac{d}{dt} \frac{\partial U}{\partial \dot q^j}.\tag{1}$ Estoy tratando de probar esto por mí mismo usando la definición de fuerzas generalizadas sin éxito y estoy buscando ayuda.

Mi intento hasta ahora

Las fuerzas generalizadas se definen como sigue.

\begin{matrix} (2) & q_{j} = F \cdot \frac{\partial X}{\partial q^{j}} . \end{matrix}

$Q_j = \mathbf F \cdot \frac{\partial \mathbf x}{\partial q^j}.\tag{2}$

Desde

\begin{matrix} (3) & F = - \nabla tu, \end{matrix}

$\mathbf F = - \nabla U ,\tag{3}$ esto se reduce de la siguiente manera.

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} q_{j} & = - \nabla tu \cdot \frac{\partial X}{\partial q^{j}} \\ = - \frac{\partial tu}{\partial X^{k}} \frac{\partial X^{k}}{\partial q^{j}} \\ = - \frac{\partial tu}{\partial q^{j}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} Q_j &= - \nabla U \cdot \frac{\partial \mathbf x}{\partial q^j} \\ &= -\frac{\partial U}{\partial x^k} \frac{\partial x^k}{\partial q^j} \\ &= -\frac{\partial U}{\partial q^j}. \end{align}\tag{4}$

Entonces, obviamente, he probado que el primer término es válido, pero ¿de dónde viene el segundo? O, tal vez mi interpretación de que $\mathbf F = - \nabla U$ es incorrecta para los potenciales dependientes de la velocidad? ¿Alguien puede aclarar?

Bence Racskó

Para un potencial dependiente de la velocidad no es cierto que

F = - \nabla U

$\mathbf F=-\boldsymbol{\nabla}U$ . Una pista es que supongamos que el Lagrangiano es de la forma

L = T (\dot{r}) - U (r, \dot{r})

$L=T(\mathbf {\dot r})-U(\mathbf r,\mathbf{\dot r})$ .

trevor kafka

Estoy tratando de usar esto como justificación para mí mismo de por qué las ecuaciones de Euler Lagrange son válidas (como lo hacen aquí en la presentación; esta es parte de la derivación de las ecuaciones de EL). ¿Cómo se puede justificar esto sin hacer referencia a las ecuaciones EL?

trevor kafka

@qmechanic ¿no hay otra lógica para esto que no sea "es solo lo que hace que las ecuaciones de Euler Lagrange funcionen?"

Alex Opremcak

La ecuacion

F = - \nabla U

${\bf F}=-\nabla U$ solo se cumple para fuerzas conservativas. Piensa en la fuerza de Lorentz. ¿Dependería el trabajo que tiene que hacer para mover una carga puntual de A a B de si o no

\vec{v}

$\vec{v}$ y

\vec{B}

$\vec{B}$ eran paralelas o perpendiculares?

trevor kafka

@AdamOpremcak Definitivamente un punto válido; Entonces, ¿de dónde viene la fórmula?

Alex Opremcak

Es solo una generalización para que las cosas "se vean" igual que en el caso independiente de velocidad/tiempo. Echa un vistazo a nhn.ou.edu/~gut/notes/cm/lect_09.pdf . Recomiendo resolver este problema para la fuerza de Lorentz y ver que todo esté bien.

Respuestas (4)

Fuerza generalizada que surge de un potencial dependiente de la velocidad

Para un potencial dependiente de la velocidad no es cierto que $\mathbf F=-\boldsymbol{\nabla}U$ . Una pista es que supongamos que el Lagrangiano es de la forma $L=T(\mathbf {\dot r})-U(\mathbf r,\mathbf{\dot r})$ .
Estoy tratando de usar esto como justificación para mí mismo de por qué las ecuaciones de Euler Lagrange son válidas (como lo hacen aquí en la presentación; esta es parte de la derivación de las ecuaciones de EL). ¿Cómo se puede justificar esto sin hacer referencia a las ecuaciones EL?
@qmechanic ¿no hay otra lógica para esto que no sea "es solo lo que hace que las ecuaciones de Euler Lagrange funcionen?"
La ecuacion ${\bf F}=-\nabla U$ solo se cumple para fuerzas conservativas. Piensa en la fuerza de Lorentz. ¿Dependería el trabajo que tiene que hacer para mover una carga puntual de A a B de si o no $\vec{v}$ y $\vec{B}$ eran paralelas o perpendiculares?
@AdamOpremcak Definitivamente un punto válido; Entonces, ¿de dónde viene la fórmula?
Es solo una generalización para que las cosas "se vean" igual que en el caso independiente de velocidad/tiempo. Echa un vistazo a nhn.ou.edu/~gut/notes/cm/lect_09.pdf . Recomiendo resolver este problema para la fuerza de Lorentz y ver que todo esté bien.

Bence Racskó · Answer 1

Dudo que haya alguna forma en que OP pueda determinar la validez de las ecuaciones EL a través de potenciales dependientes de la velocidad.

A menos que las ecuaciones EL (o alternativamente, el principio variacional) se postulen como un axioma, probablemente la forma más natural de llegar a ellas sea a través del argumento presentado en Classical Mechanics por Goldstein, que es demasiado largo para reproducirlo aquí.

En pocas palabras, al analizar sistemas con restricciones holonómicas, se puede llegar al hecho de que las EoM se pueden escribir como

0 = \frac{\partial L}{\partial q^{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{i}}

$0=\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^i}$ dónde

L (q, \dot{q}, t) = T (q, \dot{q}) - tu (q) .

$L(q,\dot q,t)=T(q,\dot q)-U(q).$ Aquí se han considerado fuerzas conservativas ordinarias y las coordenadas son coordenadas generalizadas que se han adaptado a las restricciones y luego se han reducido.

A partir de este momento, uno puede darse cuenta de que dada una acción funcional

S [γ] = \int d t L (q (t), \dot{q} (t), t),

$S[\gamma]=\int dt\ L(q(t),\dot q(t),t),$ las ecuaciones EL son equivalentes con

\frac{d S}{d q^{i} (t)} = 0,

$\frac{\delta S}{\delta q^i(t)}=0,$ p.ej. la derivada funcional debe desaparecer.

Se propone entonces este principio variacional como fundamental, por lo que decimos que un sistema lagrangiano es uno con un funcional de acción de la forma

S = \int d t L (q (t), \dot{q} (t), t) .

$S=\int dt\ L(q(t),\dot q(t),t).$ Esto no siempre funciona, ya que no todos los sistemas mecánicos clásicos tienen esta forma. ¡Sin embargo, casi todos los sistemas algo "fundamentales" lo son!

Ahora bien, se puede considerar el caso de una partícula ordinaria en $\mathbb R^3$ , cuyo lagrangiano es de la forma

L = \frac{1}{2} metro {\dot{r}}^{2} - tu (r, \dot{r}) .

$L=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf r}^2-U(\mathbf r,\dot{\mathbf r}).$ Claramente tenemos

\frac{\partial T}{\partial r} = 0, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{r}} = metro \ddot{r} = F,

$\frac{\partial T}{\partial\mathbf r}=0,\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{\mathbf r}}=m\ddot{\mathbf r}=\mathbf F,$ y asi obtenemos

0 = \frac{\partial L}{\partial r} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = (\frac{\partial T}{\partial r} - \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{r}}) - (\frac{\partial tu}{\partial r} - \frac{d}{d t} \frac{\partial tu}{\partial \dot{r}}) = - F - \frac{\partial tu}{\partial r} + \frac{d}{d t} \frac{\partial tu}{\partial \dot{r}},

$0=\frac{\partial L}{\partial\mathbf r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\mathbf r}}=\left(\frac{\partial T}{\partial\mathbf r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{\mathbf r}}\right)-\left(\frac{\partial U}{\partial\mathbf r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial\dot{\mathbf r}}\right) \\ =-\mathbf F-\frac{\partial U}{\partial\mathbf r}+\frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial\dot{\mathbf r}},$ y reordenando, obtenemos el resultado deseado.

Ahora, el punto es que esto no es nada profundo básicamente. Todo lo que hemos deducido es que si un Lagrangiano tiene un término potencial dependiente de la velocidad, entonces así es como se ven las EoM.

Conozco solo dos tipos de fuerzas dependientes de la velocidad en física (podría ser más, no sé), las fricciones y la fuerza de Lorentz. Sea como fuere, la fuerza de Lorentz se puede describir de esta manera, mientras que la mayoría de las fuerzas de fricción no (hay algunas excepciones, pero los lagrangianos realmente no tienen ningún significado en esos casos, solo curiosidades matemáticas).

Frobenius · Answer 2

en mi opinión el $^{\prime}$ especial $^{\prime}$ caso de fuerza generalizada asociada con un potencial dependiente de la velocidad $\,U(q,\dot q, t)\,$

\begin{matrix} (01) & q_{j} = - \frac{\partial tu}{\partial q_{j}} + \frac{d}{d t} (\frac{\partial tu}{\partial {\dot{q}}_{j}}) \end{matrix}

$\begin{equation} Q_j = - \frac{\:\partial U\hphantom{_j}}{\partial q_j} + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(\frac{\:\partial U\hphantom{_j}}{\partial \dot q_j}\right) \tag{01}\label{eq01} \end{equation}$ está motivado por la exigencia de introducir la fuerza electromagnética de Lorentz en el formalismo lagrangiano.

Ahora, comenzamos con una fuerza $\,\mathbf F\,$

\begin{matrix} (02) & q_{j} = F \cdot \frac{\partial X}{\partial q_{j}} \end{matrix}

$\begin{equation} Q_j = \mathbf F \boldsymbol \cdot \frac{\partial \mathbf x\hphantom{_j}}{\partial q_j} \tag{02}\label{eq02} \end{equation}$ con

\begin{matrix} (03) & coordenada generalizada q_{j} \equiv coordenadas cartesianas X_{j} \end{matrix}

$\begin{equation} \text{generalized coordinate } q_j \equiv \text{ cartesian coordinate } x_j \tag{03}\label{eq03} \end{equation}$ de modo que

\begin{matrix} (04) & X = (q_{1}, q_{2}, q_{3}) = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf x =\left(q_1,q_2,q_3\right)=\left(x_1,x_2,x_3\right) \tag{04}\label{eq04} \end{equation}$ Insertando la expresión de la fuerza de Lorentz

\begin{matrix} (05) & F = q (mi + v \times B) \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf F = q \left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \right) \tag{05}\label{eq05} \end{equation}$ en ecuacion

(02)

$\eqref{eq02}$ tenemos

\begin{matrix} (06) & q_{j} = q {(mi + v \times B)}_{j} \end{matrix}

$\begin{equation} Q_j = q \left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \right)_j \tag{06}\label{eq06} \end{equation}$ Desde

\begin{matrix} (07) & mi = - \nabla ϕ - \frac{\partial A}{\partial t}, B = \nabla \times A \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla}\phi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\,,\quad \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times}\mathbf{A} \tag{07}\label{eq07} \end{equation}$ para el primer componente

Q_{1}

$\,Q_1\,$ tenemos

\begin{aligned} \frac{q_{1}}{q} & = {(mi + v \times B)}_{1} = {mi}_{1} + {(v \times B)}_{1} = {mi}_{1} + v_{2} B_{3} - v_{3} B_{2} = {mi}_{1} + {\dot{q}}_{2} B_{3} - {\dot{q}}_{3} B_{2} \\ = - \frac{\partial ϕ}{\partial q_{1}} - \frac{\partial A_{1}}{\partial t} + {\dot{q}}_{2} (\frac{\partial A_{2}}{\partial q_{1}} - \frac{\partial A_{1}}{\partial q_{2}}) - {\dot{q}}_{3} (\frac{\partial A_{1}}{\partial q_{3}} - \frac{\partial A_{3}}{\partial q_{1}}) \\ = - \frac{\partial ϕ}{\partial q_{1}} + \underset{= v \cdot \frac{\partial A}{\partial q_{1}} = \frac{\partial (v \cdot A)}{\partial q_{1}}}{\underset{⏟}{({\dot{q}}_{1} \frac{\partial A_{1}}{\partial q_{1}} + {\dot{q}}_{2} \frac{\partial A_{2}}{\partial q_{1}} + {\dot{q}}_{3} \frac{\partial A_{3}}{\partial q_{1}})}} - \underset{= \frac{d A_{1}}{d t} = \frac{d}{d t} [\frac{\partial (v \cdot A)}{\partial {\dot{q}}_{1}}] = - \frac{d}{d t} [\frac{\partial (ϕ - v \cdot A)}{\partial {\dot{q}}_{1}}]}{\underset{⏟}{(\frac{\partial A_{1}}{\partial t} + {\dot{q}}_{1} \frac{\partial A_{1}}{\partial q_{1}} + {\dot{q}}_{2} \frac{\partial A_{1}}{\partial q_{2}} + {\dot{q}}_{3} \frac{\partial A_{1}}{\partial q_{3}})}} \\ (08) & = - \frac{\partial (ϕ - v \cdot A)}{\partial q_{1}} + \frac{d}{d t} [\frac{\partial (ϕ - v \cdot A)}{\partial {\dot{q}}_{1}}] \end{aligned}

$\begin{align} \!\!\!\!\!\!\frac{Q_1}{q} & =\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \right)_1 = E_1+\left(\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{B} \right)_1= E_1+\mathrm v_2 B_3 -\mathrm v_3 B_2= E_1+\dot{q}_2 B_3 -\dot{q}_3 B_2 \nonumber\\ &=-\frac{\partial\phi\hphantom{_1}}{\partial q_1}-\frac{\partial A_1}{\partial t} +\dot{q}_2\left(\frac{\partial A_2}{\partial q_1}-\frac{\partial A_1}{\partial q_2} \right)-\dot{q}_3\left(\frac{\partial A_1}{\partial q_3}-\frac{\partial A_3}{\partial q_1} \right) \nonumber\\ &=-\frac{\partial\phi\hphantom{_1}}{\partial q_1}+\underbrace{\left(\dot{q}_1\frac{\partial A_1}{\partial q_1}+\dot{q}_2\frac{\partial A_2}{\partial q_1}+\dot{q}_3\frac{\partial A_3}{\partial q_1} \right)}_{\boldsymbol{=}\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial q_1}\boldsymbol{=}\frac{\partial (\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}{\partial q_1}}-\underbrace{\left(\frac{\partial A_1}{\partial t}+\dot{q}_1\frac{\partial A_1}{\partial q_1}+\dot{q}_2\frac{\partial A_1}{\partial q_2}+\dot{q}_3\frac{\partial A_1}{\partial q_3} \right)}_{\boldsymbol{=}\frac{\mathrm d A_1}{\mathrm d t}\boldsymbol{=}\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\left[\frac{\partial (\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}{\partial \dot{q}_1}\right]\boldsymbol{=-}\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\left[\frac{\partial (\phi-\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}{\partial \dot{q}_1}\right]} \nonumber\\ &=-\frac{\partial\left(\phi-\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)}{\partial q_1}+\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\left[\frac{\partial (\phi-\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A})}{\partial \dot{q}_1}\right] \tag{08}\label{eq08} \end{align}$ eso es

\begin{matrix} (09) & q_{1} = - \frac{\partial tu}{\partial q_{1}} + \frac{d}{d t} (\frac{\partial tu}{\partial {\dot{q}}_{1}}) \end{matrix}

$\begin{equation} Q_1 = - \frac{\:\partial U\hphantom{_1}}{\partial q_1} + \frac{\mathrm d\hphantom{t}}{\mathrm dt} \left(\frac{\:\partial U\hphantom{_j}}{\partial \dot q_1}\right) \tag{09}\label{eq09} \end{equation}$ entonces

\begin{matrix} (10) & q_{j} = - \frac{\partial tu}{\partial q_{j}} + \frac{d}{d t} (\frac{\partial tu}{\partial {\dot{q}}_{j}}) \end{matrix}

$\begin{equation} Q_j = - \frac{\:\partial U\hphantom{_1}}{\partial q_j} + \frac{\mathrm d\hphantom{t}}{\mathrm dt} \left(\frac{\:\partial U\hphantom{_j}}{\partial \dot q_j}\right) \tag{10}\label{eq10} \end{equation}$ dónde

\begin{matrix} (11) & tu (q, \dot{q}, t) = q [ϕ - ({\dot{q}}_{1} A_{1} + {\dot{q}}_{2} A_{2} + {\dot{q}}_{3} A_{3})] = q [ϕ (q, t) - v \cdot A (q, t)] \end{matrix}

$\begin{equation} U(q,\dot q,t) =q\left[\phi-\left(\dot{q}_1 A_1+\dot{q}_2 A_2+\dot{q}_3 A_3\right)\right] = q\left[\phi(q,t)-\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}(q,t)\right] \tag{11}\label{eq11} \end{equation}$

Nota :

Esta elaboración [para encontrar un potencial dependiente de la velocidad $\,U(q,\dot q, t)\,$ para la fuerza electromagnética de Lorentz] es idéntico al del .pdf en el enlace proporcionado por el usuario @Alex Opremcak en su comentario

Es solo una generalización para que las cosas "se vean" igual que en el caso independiente de velocidad/tiempo. Eche un vistazo a Física 5153 Mecánica clásica - Potenciales dependientes de la velocidad . Recomiendo resolver este problema para la fuerza de Lorentz y ver que todo esté bien. – Alex Opremcak.

qmecanico · Answer 3

No se necesitan pruebas. ecuación de OP (1) es solo la relación definitoria para un potencial dependiente de la velocidad $U$ . ecuación de OP (3) no siempre es válido.

Cristóbal · Answer 4

Antes, pensé que esto podría derivarse. Una respuesta anterior decía que se define de esta manera, pero lo importante es averiguar por qué se definió de esta manera. Para hacer eso, tenemos que volver al desarrollo de las Ecuaciones de Lagrange.

En el proceso de derivar las Ecuaciones de Lagrange eventualmente llegamos al punto donde tenemos:

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j}$ $\quad$ [Ecuación base]

donde T es la energía cinética y $Q_j$ es la fuerza generalizada. Si el sistema es conservativo entonces de la mecánica básica sabemos $Q_j$ (una fuerza) puede representarse por el cambio negativo en un potencial. Eso es, $Q_j$ se puede representar como:

${Q_j = -\frac{\partial V}{\partial q_j} }$

Entonces podemos tener:

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = -\frac{\partial V}{\partial q_j}}$

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j} = 0}$

Y desde $V$ , nuestro potencial, no es una función de la velocidad (no contiene términos de velocidad) podemos escribir:

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial (T-V)}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial (T-V)}{\partial q_j} = 0}$

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0}$

Supongamos ahora que queremos usar estas ecuaciones pero tenemos fuerzas en nuestro sistema que dependen de la velocidad. ¿Podemos seguir usando el Lagrangiano de esta forma? Si utilizamos la prescripción recomendada para $Q_i$

${Q_j = \frac{\partial U}{\partial q_j} + \frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot q_j} }$

Entonces, si ponemos eso en la ecuación base y seguimos el mismo procedimiento:

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j}$

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial T}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial T}{\partial q_j} = \frac{\partial U}{\partial q_j} + \frac{d}{dt}\frac{\partial U}{\partial \dot q_j}}$

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial (T-U)}{\partial q_j} = 0}$

${\frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} \Big) - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0}$

Entonces podemos usar las mismas ecuaciones de Lagrange para una fuerza dependiente de la velocidad si podemos definir esa fuerza $Q_j$ en la forma descrita en la pregunta. En electrodinámica podemos hacer esto. Sin embargo, no es fácil, pero el proceso está bastante bien cubierto en la respuesta anterior a esta pregunta.

Fuerza generalizada que surge de un potencial dependiente de la velocidad

trevor kafka

Bence Racskó

trevor kafka

trevor kafka

Alex Opremcak

trevor kafka

Alex Opremcak

Respuestas (4)

Bence Racskó

Frobenius

qmecanico

Cristóbal

Energía potencial interna y distancia relativa de la partícula

Ecuaciones Lagrangianas de Movimiento, Fuerzas Conservativas

Sistema no conservativo y potenciales dependientes de la velocidad

Susskind & Hrabovsky: Para cualquier sistema Fi=−∂iVFi=−∂iVF_i=-\partial_{i}V?

¿Por qué no podemos atribuir un potencial (posiblemente dependiente de la velocidad) a una fuerza disipativa?

Signo de fuerza gravitacional

Conferencia de Feynman Principio de acción mínima: ¿Pasado por alto la expansión de Taylor?

Derivación de la energía potencial efectiva del Lagrangiano de un sistema de dos cuerpos [duplicado]

En f=−∇uf=−∇u\textbf{f} = -\boldsymbol{\nabla} u, ¿cuál es uuu?

¿Por qué se desvanece el trabajo virtual total realizado por las fuerzas de las restricciones? (Perpendicularidad de dos o más partículas)