¿Por qué no podemos atribuir un potencial (posiblemente dependiente de la velocidad) a una fuerza disipativa?

Para ser concretos, supongamos aquí que la fuerza disipativa

Recuerde que un potencial dependiente de la velocidad$U=U({\bf r},{\bf v},t)$de una fuerza${\bf F}$por definición satisface

Teorema: La fuerza disipativa (1) no puede tener un potencial dependiente de la velocidad (2).

Prueba:

1. Defina la parte potencial de la acción como

   $$S_p~:=~\int \!dt~U,\tag{3}$$ y tenga en cuenta que la ec. (2) se puede reescribir con la ayuda de una derivada funcional como $$F_i(t)~\stackrel{(2)+(3)}{=}~ -\frac{\delta S_p}{\delta x^i(t)}, \qquad i~\in~\{1,\ldots,n\}, \tag{4}$$ dónde$n$es el número de dimensiones espaciales.

2. Dado que las derivadas funcionales conmutan

   $$\frac{\delta}{\delta x^i(t)} \frac{\delta S_p}{\delta x^j(t^{\prime})} ~=~\frac{\delta}{\delta x^j(t^{\prime})} \frac{\delta S_p}{\delta x^i(t)},\tag{5}$$ derivamos la siguiente condición de consistencia (6) para una fuerza con un potencial dependiente de la velocidad $$\frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} ~\stackrel{(4)+(5)}{=}~[(i,t) \longleftrightarrow (j,t^{\prime})].\tag{6}$$ ecuación (6) es un análogo funcional de una relación de Maxwell y equivalente a las condiciones de Helmholtz, cf. esta publicación Phys.SE.

3. La derivada funcional de la fuerza disipativa (1) se lee

   $$\frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} ~\stackrel{(1)+(8)+(9)}{=}~ -T_{ij}(t) \frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime}), \tag{7}$$ donde hemos definido $$T_{ij}~:=~f(v^2) ~\delta_{ij} + 2 f^{\prime}(v^2)~v^iv^j\tag{8}.$$ En la ec. (7) se utilizó que $$\frac{\delta x^i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})} ~=~\delta_j^i ~\delta(t\!-\!t^{\prime})\tag{9}.$$

4. La relación funcional de Maxwell (6) se convierte en

   $$\begin{align} 0~\stackrel{(6)}{=}~&\frac{\delta F_j(t^{\prime})}{\delta x^i(t)}-\frac{\delta F_i(t)}{\delta x^j(t^{\prime})}\cr ~\stackrel{(7)}{=}~& -T_{ij}(t^{\prime}) \frac{d}{dt^{\prime}}\delta(t\!-\!t^{\prime})+ T_{ij}(t)\frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime}) \cr ~=~&\left\{T_{ij}(t^{\prime}) + T_{ij}(t)\right\}\frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime})\cr ~=~& 2T_{ij}(t)\frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime})+\delta(t\!-\!t^{\prime})\frac{dT_{ij}(t)}{dt} .\end{align} \tag{10}$$

5. ecuación (10) implica que

   $$T_{ij}~\stackrel{(10)}{=}~0.\tag{11}$$ Esto a su vez implica que $$0~\stackrel{(10)}{=}~T_{ii}~\stackrel{(8)}{=}~n f(v^2) + 2v^2 f^{\prime}(v^2), \tag{12}$$ y $$0~\stackrel{(10)}{=}~v^i T_{ij} v^j~\stackrel{(8)}{=}~v^2 f(v^2) + 2v^4 f^{\prime}(v^2). \tag{13}$$ ecuaciones (12) y (13) muestran que la función $$f(v^2)~\stackrel{(12)+(13)}{=}~0\tag{14}$$ se desvanece por$n>1$.$\Box$

6. Caso especial de una dimensión espacial$n=1$: Ecs. (12) y (13) también restringen la$n=1$caso, pero es instructivo rehacer cuidadosamente el análisis para el$n=1$caso solo. Ahora cambiamos la notación para que$v$denota una velocidad de 1 vector en lugar de la rapidez. Entonces la derivada funcional de la fuerza disipativa$F(v)$lee

   $$\frac{\delta F(v(t))}{\delta x(t^{\prime})} ~=~ F^{\prime}(v(t)) \frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime}). \tag{15}$$ La relación funcional de Maxwell (6) se convierte en $$\begin{align} 0~\stackrel{(6)}{=}~&\frac{\delta F(v(t))}{\delta x(t^{\prime})}-\frac{\delta F(v(t^{\prime}))}{\delta x(t)}\cr ~\stackrel{(15)}{=}~& F^{\prime}(v(t)) \frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime})- F^{\prime}(v(t^{\prime}))\frac{d}{dt^{\prime}}\delta(t\!-\!t^{\prime}) \cr ~=~&\left\{F^{\prime}(v(t)) + F^{\prime}(v(t^{\prime}))\right\}\frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime})\cr ~=~& 2F^{\prime}(v(t))\frac{d}{dt}\delta(t\!-\!t^{\prime})+\delta(t\!-\!t^{\prime})\frac{dF^{\prime}(v(t))}{dt} .\end{align} \tag{16}$$ ecuación (16) implica que $$F^{\prime}(v)~=~0,\tag{17}$$ es decir, la fuerza$F(v)$es independiente de$v$. Esta no es una fuerza disipativa de la forma (1).$\Box$

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica, Capítulo 1.

Porque la característica básica de un potencial es que es independiente de la trayectoria. Es una propiedad de un punto en el espacio fase, no de la historia del sistema.

Piénselo de esta manera: si lleva su sistema a un pequeño viaje en el espacio de fase y regresa a su punto de partida, el potencial no puede cambiar en el proceso (ya que es una función de su posición en el espacio de fase). Pero si hay disipación, perdiste energía en el proceso.

Las fuerzas disipativas no son conservativas . Una fuerza conservativa es aquella en la que el trabajo realizado por la fuerza sobre un cuerpo es independiente del camino recorrido. Por ejemplo, podemos mover una pelota un metro hacia arriba de múltiples formas. Podemos simplemente moverlo hacia arriba, o podemos moverlo dos metros y luego dejarlo caer. La energía neta suministrada al sistema por usted es la misma, es$mgh$. Ahora, echemos un vistazo a los procesos en los que la pelota vuelve a donde estaba. Puede moverlo a una altura de un metro y dejarlo caer, pero no estará suministrando energía neta. Cualquier energía que suministres se liberará durante la caída de la pelota.

Por otro lado, la fricción/arrastre/etc. no son conservativas. Tome un bloque sobre una superficie rugosa. Digamos que la fuerza de fricción cinética tiene una magnitud constante$f$. Ahora, mueve el bloque.$x$adelante, y llévelo hacia atrás. vas a trabajar$2fx$contra la fricción (Así que la fricción funciona$-2fx$). Aunque no hubo un cambio neto de posición, se hizo un trabajo. Ahora, trabajo realizado = cambio en PE. Pero, el potencial en un punto debe ser constante, ¡así que el cambio en PE=0! Entonces, el potencial no es definible.

Esto le sucede a la mayoría de las fuerzas que dependen de la velocidad de la partícula. Por ejemplo, la fuerza magnética$^{*}$($q\vec{v}\times\vec{B}$), fuerza de fricción cinética ($-\mu_kN\hat{v}$), etc. También ocurre en cualquier caso donde las líneas de campo de una fuerza forman bucles ( líneas de campo eléctrico inducido, por ejemplo ).

Todo esto se puede codificar matemáticamente así: si tiene un campo de vector de fuerza$\mathbb{\vec{F}}$(Un campo vectorial es un vector que es función de$(x,y,z)$), entonces para que el campo sea conservativo,$\nabla\times\mathbb{\vec{F}}=0$

Resumiendo , solo podemos definir el potencial de una fuerza que hace el mismo trabajo para ir del punto A al punto B sin importar cuál sea el camino.

$*$La fuerza magnética no es exactamente no conservativa. No realiza trabajo (siempre es perpendicular al desplazamiento), por lo que no podemos hablar de conservadurismo.

Una forma de interpretar esta pregunta es "¿qué hace que una fuerza sea conservadora?" La respuesta es que las fuerzas conservativas no excitan grados de libertad internos: no hay transferencia de energía a energía interna (no hay flujo de calor). Cuando hay fricción, la contabilidad del balance de energía en el sistema se vuelve más complicada que la interacción habitual entre la energía cinética y potencial porque el balance de energía interno se vuelve importante.