¿Cómo afectan las fuerzas no conservativas a las ecuaciones de Lagrange?

De manera más general, las ecuaciones de Lagrange$^1$leer

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial (T-U)}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial (T-U)}{\partial q^j}~=~Q_j-\frac{\partial{\cal F}}{\partial\dot{q}^j}+\sum_{\ell=1}^m\lambda^{\ell} a_{\ell j}, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\}, \tag{L}$$

dónde

• $q^1,\ldots ,q^n,$son$n$ coordenadas de posición generalizadas ;

• $T$es la energía cinética;

• $U$es un potencial generalizado;

• ${\cal F}$es la función de disipación de Rayleigh para las fuerzas de fricción;

• $Q_1,\ldots ,Q_n,$son las partes restantes de las fuerzas generalizadas, que no están descritas por el potencial generalizado$U$o la función de disipación de Rayleigh${\cal F}$;

• $\lambda^1,\ldots ,\lambda^m$, son$m$ Multiplicadores de Lagrange para$m$ restricciones semi-holonómicas

  $$\sum_{j=1}^n a_{\ell j}(q,t)\dot{q}^j+a_{\ell t}(q,t)~=~0, \qquad \ell~\in \{1,\ldots, m\}. \tag{SHC}$$ Uno puede pensar en el último término en el lado derecho de la ec. (L) como las fuerzas de restricción generalizadas para las restricciones semi-holonómicas (SHC). Se supone que todas las demás restricciones son holonómicas .

Para una discusión de las fuerzas conservativas y no conservativas, consulte también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; Capítulo 1 y 2.

--

$^1$Distinguimos entre ecuaciones de Lagrange (L) y ecuaciones de Euler-Lagrange

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}-\frac{\partial L}{\partial q^j}~=~0, \qquad j~\in \{1,\ldots, n\}.\tag{EL}$$ A diferencia de las ecuaciones de Lagrange (L), las ecuaciones de EL siempre se asumen, por definición, como derivadas de un principio de acción estacionario . Debemos enfatizar que no es posible aplicar el principio de acción estacionaria para derivar las ecuaciones de Lagrange (L) a menos que todas las fuerzas generalizadas tengan potenciales generalizados$U$. Ver también, por ejemplo, este y este Phys.SE publicaciones.