Ecuaciones de Lagrange para sistemas monogénicos no holonómicos

Question

Ecuaciones de Lagrange para sistemas monogénicos no holonómicos

efectivo
Física
mecanica clasica
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
principio variacional

Cachemira

Para restricciones monogénicas y un caso especial de restricciones no holonómicas donde tenemos

\begin{matrix} (2-20) & \sum_{k} a_{yo k} d q_{k} + a_{t t} d t = 0 \end{matrix}

$\sum_{k} a_{l k} d q_{k}+a_{t t} d t=0 \tag{2-20}$ Usamos multiplicadores de Lagrange y el principio de Hamilton para llegar a la siguiente ecuación:

Goldstein, 2ª edición

$\begin{matrix} (2-29) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{\partial L}{\partial q_{k}} = \sum_{yo} λ_{yo} a_{yo k}, k = 1, 2, \dots, norte . \end{matrix}$ $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}, \quad k=1,2, \ldots, n.\tag{2-29}$

Y dice más

¿Cuál es el significado físico de la $\lambda_{i}$ '¿s? Suponga que uno eliminó las restricciones en el sistema, pero en su lugar aplicó fuerzas externas $Q_{k}^{\prime}$ de tal manera que se mantenga el movimiento del sistema sin cambios. Las ecuaciones de movimiento también serían las mismas. Claramente, estas fuerzas adicionales aplicadas deben ser iguales a las fuerzas de restricción, ya que son las fuerzas aplicadas al sistema para satisfacer la condición de restricción. Bajo la influencia de estas fuerzas $Q_{k}^{\prime}$ , las ecuaciones de movimiento son
$\begin{matrix} (2-31) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{\partial L}{\partial q_{k}} = q_{k}^{'} . \end{matrix}$ $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial q_{k}}=Q_{k}^{\prime}.\tag{2-31}$ Pero estos deben ser idénticos a las Ecs. (2-29). Por lo tanto podemos identificar $\sum \lambda_{1} a_{l k}$ con $Q_{k}^{\prime}$ , las fuerzas de restricción generalizadas.

Pregunta : ¿Cómo se sigue que "Bajo la influencia de estas fuerzas $Q_{k}^{\prime}$ , las ecuaciones de movimiento son eq. (2-31)?"

Dado que tenemos un sistema monogénico, el potencial tal vez sea una función de las velocidades. $V=V(r,\dot r,t)$ por lo tanto, reemplazando las restricciones por fuerzas equivalentes y usando el principio de d'Alembert, podríamos obtener

\frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{j}}) - \frac{\partial T}{\partial q_{j}} = q_{j}

$\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=Q_{j}$ y no ec. (2-31).

¿Alguien puede arrojar algo de luz, por favor?

Respuestas (2)

Ecuaciones de Lagrange para sistemas monogénicos no holonómicos

qmecanico · Answer 1

Goldstein está hablando de restricciones semi-holonómicas ; no restricciones no holonómicas generales, como, por ejemplo, desigualdades.
El tratamiento de Goldstein de las restricciones semiholonómicas a través de un principio de acción estacionario ya ha sido criticado, por ejemplo, en la Ref. 3. y esta y esta publicación Phys.SE relacionada.
Para ser específicos, de ahora en adelante consideremos solo la segunda edición de Goldstein.
Debemos recalcar que el resultado (2-29) es correcto. Para una generalización, vea, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Se pueden considerar las fuerzas de restricción $\sum_{l} \lambda_{l} a_{l k}$ en el lado derecho de la ec. (2-29) como ejemplos de fuerzas generalizadas , cf. ec. (2-31). Este punto es posiblemente una de las dudas de OP.
Parece que Goldstein asume implícita e innecesariamente que todas las fuerzas sin restricciones son monogénicas , es decir, que tienen potenciales generalizados (posiblemente dependientes de la velocidad), cf. ec. (1-58).
OP parece asumir erróneamente que las fuerzas de restricción también son monogénicas y/o que todas las fuerzas son fuerzas de restricción. Ambos no son el caso.
Para probar la ec. (2-29) necesitamos establecer la ec. (2-23), o más generalmente, eq. (1-52).
Goldstein ahora es criticado por usar el principio de Hamilton (2-2). El problema es que uno no puede simplemente hacer cumplir las restricciones semi-holonómicas a través de los multiplicadores de Lagrange en un principio de acción estacionario extendido, cf. punto 2
En cambio, confiaremos en el principio de d'Alembert (1-45). Una modificación menor de las ecs. (2-24)-(2-28) y los argumentos que lo rodean conducen al resultado (2-29).

Referencias:

H. Goldstein, Mecánica Clásica, 2ª edición; Sección 2.4.
H. Goldstein, Mecánica Clásica, 3ª edición; Sección 2.4.
MR Flannery, El enigma de las restricciones no holonómicas, Am. J. física. 73 (2005) 265 .

eli · Answer 2

EL con ecuaciones de restricción no holonómicas

\begin{aligned} tienes {norte}_{w} ecuaciones de restricción no holonómicas \\ (1) & F_{w} = F_{w} ({\dot{q}}_{1}, q_{1}, \dots, {\dot{q}}_{s}, q_{s}) = 0, w = 1.. {norte}_{w} \\ Ecuaciones EL con multiplicador de Langrange λ_{w} \\ (2) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \underset{q_{i}}{\underset{⏟}{\sum_{w = 1}^{{norte}_{w}} a_{(i, w)} λ_{w}}}, i = 1.. s \\ dónde \\ a_{(w, i)} = \frac{\partial F_{w}}{\partial {\dot{q}}_{i}} \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{you have $~n_w~$non holonomic constraint equations}\\ &F_{w}=F_w({\dot{q}}_1~, q_1~,\ldots~,{\dot{q}}_s~, q_s)=0~,w=1..n_w\tag 1\\\\ &\text{EL equations with Langrange multiplier $~\lambda _w$ }\\ &\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\underbrace{\sum_{w=1}^{n_w} a_{(i,w)}\,\lambda_w}_{Q_i}~,i=1..s\tag 2\\ &\text{where}\\ &a_{(w,i)}=\frac{\partial F_w}{\partial \dot q_i} \end{align*}$ En lugar de la Ec. (1) y (2) aplicaste el EL con fuerzas externas

\begin{aligned} (3) & \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \underset{{\bar{q}}_{i}}{\underset{⏟}{\sum_{j = 1}^{s} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}} F_{j}}}, i = 1.. s \\ dónde F_{j} son las componentes de la fuerza externa no conservativas F_{j} = F_{j} (q, \dot{q}) \\ y r_{i} los componentes del vector de posición \end{aligned}

$\begin{align*} &\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\underbrace{\sum_{j=1}^{s}\frac{\partial r_i}{\partial q_j}f_j}_{\bar Q_{i}}~,i=1..s\tag 3\\ &\text{where $~f_j~$ are the non conservative external force components}~f_j=f_j(\mathbf q~,\mathbf{\dot{q}})\\ &\text{and $~r_i~$ the position vector components} \end{align*}$ Observe que las fuerzas conservativas son iguales a

- \frac{\partial U}{\partial q_{i}}

$-\frac{\partial U}{\partial q_i}$ donde U es la energía potencial

ecuación (3) es igual a la ecuación. (1) y (2) si $~\bar Q_i=Q_i~$ y la ecuación de restricción (1) se cumple, ¿esto es lo que escribió el Prof. Golstein?

El vector de posición r es función de las coordenadas generalizadas $f_{i}\rightarrow \sum ^{s}_{j=1}\dfrac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}}f_j$ Actualizaré el dok.

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