¿Puede el potencial depender de la velocidad?

Si define el Lagrangiano como la diferencia de las energías, parece extraño que un potencial dependa de la velocidad. He llegado a un acuerdo con situaciones como esa al no usar esa definición restrictiva para el lagrangiano y, en cambio, tomarlo por lo que realmente es: una función que conduce a ecuaciones de movimiento .

Por el Principio de Hamilton sabemos que un sistema con una coordenada$q(t)$que sigue ecuaciones diferenciales de segundo orden en$t$puede describirse de manera equivalente mediante la minimización de la función

$$S[q(t)]=\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}t\,L(q,\dot{q},t),$$ ya que una condición necesaria para escribir $\delta S=0$es en sí misma una ecuación diferencial de segundo orden para $q(t)$, dada por la ecuación de Euler-Lagrange: $$\frac{\partial{L}}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial{L}}{\partial \dot q}=0.$$ Después de definir esto, podemos comenzar a describir las interacciones.

Supongamos que nuestro sistema puede describirse a través de un Lagrangiano específico, y la intensidad de las interacciones está parametrizada por un parámetro continuo$\lambda$(puede ser carga, masa, etc.) tal que$L(\lambda)$para$\lambda=0$describe el movimiento del sistema sin ninguna interacción. si ampliamos$L$alrededor$\lambda=0$, obtenemos

$$L=L(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^n\frac{\partial^nL}{\partial\lambda^n},$$ y definiendo $L_{\mathrm{free}}=L(0)$, $L_{\mathrm{int}}=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^n\frac{\partial^nL}{\partial\lambda^n}$, podemos escribir el hamiltoniano (es decir, la energía) de nuestro sistema como $$H=-\{(L_{\mathrm{free}}+L_{\mathrm{int}})-\dot q\frac{\partial}{\partial\dot q}(L_{\mathrm{free}}+L_{\mathrm{int}})\}\\H=(\dot q\frac{\partial}{\partial\dot q}-1)L_{\mathrm{free}}+(\dot q\frac{\partial}{\partial\dot q}-1)L_{\mathrm{int}}.$$ A partir de esto definimos la energía cinética $K$como el primer término, y el potencial de interacción $U$como segundo término. En el caso específico donde el potencial no depende de la velocidad, vemos que $U=-L_{int}$, que es lo que usaríamos para la definición lagrangiana habitual. La definición usual también tiene $K=L_{\mathrm{free}}$, sin embargo, que es sólo el caso de la mecánica no relativista, que al resolver la ecuación diferencial para $L_{\mathrm{free}}$Nos da $L_{\mathrm{free}}\propto\dot q^2$. Sin embargo, en el caso de las fuerzas de fricción y los sistemas inelásticos, lo que tenemos es un Lagrangiano dependiente del tiempo , lo que da como resultado una energía dependiente del tiempo y, por lo tanto, una disipación.