Fuerza de Lorentz a partir de potencial dependiente de la velocidad y Lagrangiano

Hay algo que me estoy perdiendo. Estoy en la página 22-23 de Goldstein Classical Mechanics 3rd ed. La fuerza de Lorentz se puede derivar del Lagrangiano

$$L=T-U$$ dónde $T$es la energía cinética $$T= \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 ,$$ y $U$es la energía potencial

$$U=q\phi-q\mathbf{A}\cdot\mathbf{v}$$

dónde$\phi(t,x,y,z)$es un potencial escalar y$\mathbf{A}(t,x,y,z)$es un potencial vectorial.

Estoy tratando de resolver esto con ecuaciones de Lagrange para la coordenada x y para el término

$$\frac{d}{dt}\big(\frac{\partial{L}}{\partial\dot{x}}\big)$$

Te mostraré cómo estoy tratando de calcular esto con detalle:

$$\frac{d}{dt}\big(\frac{\partial{L}}{\partial\dot{x}}\big)=m\ddot{x}-q\frac{d}{dt}(\frac{\partial{}}{\partial{\dot{x}}}\phi)+q\frac{d}{dt}(\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial{\dot{x}}}\cdot\mathbf{v}+\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial{\dot{x}}}\cdot\mathbf{A})$$

Ahora, aquí está mi gran problema, es posible que tenga algunos problemas para comprender la condición en la que puedo intercambiar la diferenciación con respecto a$\dot{x}$y$t$, es decir, por ejemplo,

$$q\frac{d}{dt}(\frac{\partial{}}{\partial{\dot{x}}}\phi)=q\frac{\partial{}}{\partial{\dot{x}}}(\frac{d}{dt}\phi)$$

Esto se hizo unas páginas antes cuando Goldstein está derivando las ecuaciones de Lagrange, y resolví un problema en este capítulo usando esto. Así que ahora tengo:

$$q\frac{\partial{}}{\partial{\dot{x}}}(\frac{\partial{}}{\partial{x}}\phi\frac{dx}{dt}+\frac{\partial{}}{\partial{y}}\phi\frac{dy}{dt}+\frac{\partial{}}{\partial{z}}\phi\frac{dz}{dt}+\frac{\partial{}}{\partial{t}}\phi)$$

Ahora, he buscado durante muchas horas muchas formas en las que se realiza esta derivación y la expresión anterior desaparece, pero no entiendo por qué, ¿es porque asumo que x, y, z en el potencial escalar son funciones de tiempo ellos mismos? Si no, puedo ver por qué desaparecería. Además, ¿esto desaparece porque no puedo intercambiar el orden de diferenciación?

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Entiendo totalmente lo que quieres decir, lo estaba aplicando mal, después de que me respondiste me encontré con ese término final$\frac{\partial \phi}{\partial q_i}$, tuve que restarlo porque en realidad era:

$$q\frac{d}{dt}(\frac{\partial{}}{\partial{\dot{x}}}\phi)=q[\frac{\partial{}}{\partial{\dot{x}}}(\frac{d}{dt}\phi)-\frac{\partial f}{\partial q_i}]$$

¡Muchas gracias, eres genial!