¿Puede una fuerza en un sistema clásico explícitamente dependiente del tiempo ser conservativa?

Question

¿Puede una fuerza en un sistema clásico explícitamente dependiente del tiempo ser conservativa?

Nikolaj-K

Si considero ecuaciones de movimiento derivadas del principio de acción mínima para un Lagrangiano explícitamente dependiente del tiempo

$d S [L [q (t), q^{'} (t), t]] = 0,$ $\delta S[L[q(\text{t}),q'(\text{t}),{\bf t}]]=0,$

bajo qué circunstancias (es decir, qué funciones explícitas $t$ -dependencia) ¿la fuerza es conservativa?

Por fuerza entiendo aquí el término en el lado derecho de la ecuación, si empujo todo a la derecha excepto la expresión $mq''(t)$ .

Como nota al margen, además de la respuesta técnica, me interesaría aquí algunas palabras sobre las motivaciones físicas involucradas. Estoy un poco descontento con un formal $\text{curl}[F]=0$ condición, ya que parece ser demasiado fácil de cumplir (es decir, tenemos que considerar círculos cerrados solo en puntos únicos en el tiempo, respectivamente). La motivación física detrás de las fuerzas conservativas es la conservación de la energía en caminos cerrados, donde cualquier parametrización $q(s)$ de curvas pueden ser considerados. Pero en la práctica, solo los bucles rastreados en un tiempo finito son físicamente realizables, es decir, nos moveríamos en un círculo mientras t cambia.

Supongo que tan pronto como uno calcule el rhs para las ecuaciones de movimiento, también podría definir una alternativa más física a la idea anterior de fuerzas conservativas en este caso. Es decir, un funcional de preguntar si las fuerzas se integran a cero en un circuito cerrado para una ruta entre dos puntos en el tiempo $t_1$ y $t_2$ . Esta sería una integral donde se tomaría en cuenta la fuerza momentánea a lo largo del punto en el camino que estoy tomando. Por supuesto, no sería independiente de la ruta. (Entonces podríamos incluso construir otro problema de optimización por sí solo, preguntando por el camino con la diferencia de energía más pequeña, lo que realmente sería una pregunta sensata si la fricción está involucrada).

Siyuán Ren

¿Putrefacción? ¿Quieres decir rizo? La curvatura cero de un campo no es una condición fácil de cumplir.

Nikolaj-K

@KarsusRen: Me refiero a ambos, pero debería haber escrito curl, sí. Y no es "fácil", pero aún demasiado fácil, ese es el punto.

Emilio Pisanty

¿Por qué identificas la fuerza con cualquier cosa que sea igual a

m q^{″} (t)

$mq''(t)$ ? Incluso para condiciones "normales" esto falla - piense en tomar

q

$q$ como una variable angular (entonces

m q^{″}

$mq''$ es dimensionalmente incorrecto). Entonces, ¿no debería pensarse en la fuerza como algo que iguala

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ ?

Emilio Pisanty

Aparte de eso, ¿a qué te refieres exactamente con fuerzas conservativas? Supongo que te refieres a un criterio sobre

\frac{\partial L}{\partial q}

$\frac{\partial L}{\partial q}$ tal que

H = p \dot{q} - L

$H=p\dot{q}-L$ es una integral del movimiento independientemente de cualquier dependencia del tiempo, pero eso simplemente no es realista: piense en agregar un potencial variable en el tiempo pero espacialmente constante a un sistema conservador independiente del tiempo.

Nikolaj-K

@episanty: Sí, podría ser. ni siquiera estoy seguro de si

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q^{'}}

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{q'}}$ es una mejor definición, no sé. El lagrangiano no muestra una fuerza tan obvia como la newtoniana, ni una energía tan clara como el enfoque hamiltoniano. ¿Y qué significa no realista aquí? La tarea es identificar los casos en los que funciona, supongo.

Emilio Pisanty

@NickKidman: Me apegaría a la segunda ley de Newton y tomaría

F = \dot{p}

$F=\dot{p}$ , entonces. Solo hay que tener cuidado con los cambios de calibre (es decir, lagrangianos equivalentes) que pueden hacer

p

$p$ significan cosas diferentes y, por lo tanto, redistribuyen los términos en

F = \dot{p}

$F=\dot{p}$ , poniendo "

F

$F$ "las cosas en

\dot{p}

$\dot{p}$ y viceversa.

Ron Maimón

¿Quiere decir conservador con respecto a cada posible adición de forzamiento externo? Esto es lo que se entiende por lo general. No hay fuerzas conservativas dependientes del tiempo, y esto incluye impulsos galileanos de campos conservativos (puede extraer energía del movimiento de la fuente clásica).

Respuestas (2)

¿Puede una fuerza en un sistema clásico explícitamente dependiente del tiempo ser conservativa?

¿Putrefacción? ¿Quieres decir rizo? La curvatura cero de un campo no es una condición fácil de cumplir.
@KarsusRen: Me refiero a ambos, pero debería haber escrito curl, sí. Y no es "fácil", pero aún demasiado fácil, ese es el punto.
¿Por qué identificas la fuerza con cualquier cosa que sea igual a $mq''(t)$ ? Incluso para condiciones "normales" esto falla - piense en tomar $q$ como una variable angular (entonces $mq''$ es dimensionalmente incorrecto). Entonces, ¿no debería pensarse en la fuerza como algo que iguala $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ ?
Aparte de eso, ¿a qué te refieres exactamente con fuerzas conservativas? Supongo que te refieres a un criterio sobre $\frac{\partial L}{\partial q}$ tal que $H=p\dot{q}-L$ es una integral del movimiento independientemente de cualquier dependencia del tiempo, pero eso simplemente no es realista: piense en agregar un potencial variable en el tiempo pero espacialmente constante a un sistema conservador independiente del tiempo.
@episanty: Sí, podría ser. ni siquiera estoy seguro de si $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial{q'}}$ es una mejor definición, no sé. El lagrangiano no muestra una fuerza tan obvia como la newtoniana, ni una energía tan clara como el enfoque hamiltoniano. ¿Y qué significa no realista aquí? La tarea es identificar los casos en los que funciona, supongo.
@NickKidman: Me apegaría a la segunda ley de Newton y tomaría $F=\dot{p}$ , entonces. Solo hay que tener cuidado con los cambios de calibre (es decir, lagrangianos equivalentes) que pueden hacer $p$ significan cosas diferentes y, por lo tanto, redistribuyen los términos en $F=\dot{p}$ , poniendo " $F$ "las cosas en $\dot{p}$ y viceversa.
¿Quiere decir conservador con respecto a cada posible adición de forzamiento externo? Esto es lo que se entiende por lo general. No hay fuerzas conservativas dependientes del tiempo, y esto incluye impulsos galileanos de campos conservativos (puede extraer energía del movimiento de la fuente clásica).

Shaktyai · Answer 1

Si la fuerza depende del tiempo, no tienes conservación de energía:

metro \frac{d V}{d t} = F (t)

$m \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}= F(t)$

d (\frac{1}{2} metro V^{2}) = F V d t = F d X

$\mathrm d\left(\frac{1}{2}mV^2\right)=F V~\mathrm dt=F~\mathrm dx$

Para un potencial dependiente del tiempo:

d tu = gramo r a d (tu (t)) d X + \frac{\partial tu}{\partial t} d t

$\mathrm dU=\mathbb{grad}(U(t))~\mathrm dx + \frac{\partial U}{\partial t}~\mathrm dt$

Pero

F = - gramo r a d (tu (t)) ⟹ F d X = - gramo r a d (tu (t)) d X = - d tu + \frac{\partial tu}{\partial t} d t

$F=-\mathbb{grad}(U(t)) \implies F~\mathrm dx=-\mathbb{grad}(U(t))~\mathrm dx =-\mathrm dU+\frac{\partial U}{\partial t}~\mathrm dt$

Entonces obtienes:

d (\frac{1}{2} metro V^{2} + tu (t)) = \frac{\partial tu}{\partial t} d t

$\mathrm d\left(\frac{1}{2}mV^2+U(t)\right)=\frac{\partial U}{\partial t}~\mathrm dt$

La energía se conserva si y sólo si $U$ es independiente del tiempo.

Gracias Nick por editar mi publicación. Estoy demasiado ocupado para descifrar las matemáticas de tex.
La norma de la comunidad es usar TeX. Nadie más está "demasiado ocupado" para hacerlo, y StackExchange lo hace muy fácil.

Ron Maimón · Answer 2

Cada fuerza dependiente del tiempo no es conservativa, porque puede llevar la partícula del punto A al punto B cercano en un momento donde la fuerza es grande, usando un sistema de palancas para transferir el trabajo a otra parte, luego mantenga la partícula fija y espere la fuerza para cambiar, y llevar la partícula de vuelta a A.

La noción de fuerza conservativa es una que es conservativa para cada restricción adicional impuesta , para cada sistema de paredes y poleas que introduzca, no una que conserva energía en el caso especial de soluciones de la ecuación de movimiento solamente.

EDITAR: ¿Qué es conservador con restricciones?

El negocio de las restricciones trata de decir que la conservación de la energía en un sistema con fuerzas es más que la afirmación de que la energía se conserva para las ecuaciones de movimiento. Por ejemplo, si tiene una partícula que cae por la gravedad o una partícula sentada en una plataforma que se mueve lentamente hacia abajo por la gravedad, el trabajo realizado sobre la partícula es el mismo en ambos casos, pero en el segundo caso, toda la energía se transfiere a la plataforma, y debe considerar la energía adicional de la plataforma y lo que sea que la sostenga.

Cuando decimos que una fuerza es conservativa, queremos decir que esa fuerza es conservativa cuando agrega una plataforma arbitraria y permite que la fuerza empuje lentamente. Por ejemplo, si imagino que tengo una partícula cayendo y la gravedad solo actúa con un valor distinto de cero cerca de la línea de caída de la partícula, la fuerza conserva energía durante la caída. Pero si bajas la partícula en una plataforma, la mueves un poco sobre la plataforma, luego elevas la partícula donde la gravedad no actúa, obtienes un ciclo de no conservación de energía. La declaración de conservación de la energía se aplica a todas las situaciones físicas concebibles que pueda establecer e involucra las fuerzas de restricción de la plataforma que evitan que la partícula caiga en la plataforma.

El resultado es que cuando la fuerza sobre la partícula es el gradiente de un potencial, las plataformas y poleas que agregue no se pueden usar para extraer energía indefinidamente del campo de fuerza, porque si toma la partícula en un circuito cerrado, incluso en presencia de restricciones, el trabajo total es cero.

Una fuerza conservativa es aquella que se puede escribir como el gradiente de una función potencial como se enseña en los libros de física estándar. Sería útil si pudiera ampliar su segundo párrafo porque no tiene sentido para mí.

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