Energía potencial interna y distancia relativa de la partícula

La cita se toma de justo encima de la ec. (1.32) en la ref. 1:

[...] Si las fuerzas internas también son conservativas, entonces las fuerzas mutuas entre los$i$y$j$las partículas,${\bf F}_{ij}$y${\bf F}_{ji}$, se puede obtener de una función potencial$V_{ij}$. Para satisfacer la ley fuerte de acción y reacción,$V_{ij}$puede ser una función sólo de la distancia entre las partículas:

$$V_{ij} ~=~ V_{ij}(|{\bf r}_i-{\bf r}_j|). \tag{1.32}$$

La estructura de las fuerzas internas entre$N$las partículas puntuales pueden ser bastante ricas en general, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Sin embargo, la primera oración de la cita deja en claro que la Ref. 1 supone además:

1. que las fuerzas internas sobre una partícula es la suma de las fuerzas de las otras partículas. Por lo tanto, es suficiente para estudiar la fuerza interna${\bf F}_{ij}$desde el$i$partícula en el$j$partícula ésima.

2. eso${\bf F}_{ij}({\bf r}_i,{\bf r}_j)$solo depende de las dos posiciones${\bf r}_i$y${\bf r}_j$del$i$y$j$th partículas, respectivamente.

3. eso${\bf F}_{ij}({\bf r}_i,{\bf r}_j)$es una fuerza conservativa, lo que significa que existe un potencial$V_{ij} = V_{ij}({\bf r}_i,{\bf r}_j)$tal que

   $${\bf F}_{ij}~=~-{\bf \nabla}_{j} V_{ij}.$$

4. que el potencial

   $$V_{ij}({\bf r}_i,{\bf r}_j)~=~V_{ji}({\bf r}_j,{\bf r}_i)$$ es simétrico

La forma débil de la tercera ley de Newton implica entonces que

$${\bf 0}~=-{\bf F}_{ij}-{\bf F}_{ji}~=~ {\bf \nabla}_{j} V_{ij}+{\bf \nabla}_{i} V_{ji}~=~ ({\bf \nabla}_{i}+ {\bf \nabla}_{j}) V_{ij},$$ lo que a su vez implica que el potencial $V_{ij} = V_{ij}({\bf r}_{ij})$solo depende de la diferencia ${\bf r}_{ij}:={\bf r}_j-{\bf r}_i$en posiciones

Finalmente, la forma fuerte de la tercera ley de Newton implica que

$${\bf r}_{ij}~\parallel~ {\bf F}_{ij}~=~-{\bf \nabla}_{j} V_{ij}({\bf r}_{ij}),$$ lo que a su vez implica que el potencial $V_{ij} = V_{ij}(|{\bf r}_{ij}|)$solo depende de la distancia $|{\bf r}_{ij}|$. [El último punto se sigue del hecho de que una función escalar $V:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$, con la propiedad de que el gradiente $${\bf \nabla} V({\bf r})~\parallel~ {\bf r}$$ es paralelo al vector de posición ${\bf r}$, sólo puede depender de la longitud $|{\bf r}|$. ¿Puedes ver por qué? Sugerencia: descomponga el gradiente en coordenadas esféricas.]

Referencias:

1. Herbert Goldstein, Mecánica clásica, Capítulo 1.

La ley fuerte de acción y reacción dice que las fuerzas que dos cuerpos ejercen entre sí tienen la misma magnitud, dirección opuesta y actúan a lo largo de la línea que une las partículas . Cuando quieres que eso último sea cierto y quieres escribir la fuerza sobre la partícula$i$como$-\nabla_i V_{ij}$, entonces el potencial tiene que ser una función de la distancia relativa.

Puedes ver esto de la siguiente manera:

Tome un potencial simple dependiendo de la distancia relativa como

$$V_{12}=|\vec r_1 - \vec r_2|$$

y calcular$\vec F_1= -\nabla_1 V_{12}$. deberías conseguir

$$\vec F_{12} = -|\vec r_1 - \vec r_2|^2 (\vec r_1 - \vec r_2)$$ y $\vec F_{21}=-\vec F_{12}$.

Ahora haz lo mismo con un potencial dependiendo de las velocidades relativas:

$$\hat V_{12}=|\vec v_1 - \vec v_2|$$

En algún lugar deberías obtener expresiones como$\frac{\partial}{\partial x_1}v_{x1}$pero los pondremos a todos en 1, para que obtengas como respuesta

$$\vec F_{12} = -|\vec v_1 - \vec v_2|^2 (\vec v_1 - \vec v_2)$$ y $\vec F_{21}=-\vec F_{12}$de nuevo.

Ahora podría preguntar "las fuerzas tienen la misma magnitud y dirección opuesta, ¿no debería cumplirse también la ley fuerte de acción y reacción?"

La respuesta es no por el "último bit" que mencioné anteriormente: desde$\vec v_1 - \vec v_2$no es$\vec r_1 - \vec r_2$, la fuerza del potencial$\hat V$no apunta a lo largo de la línea que une las partículas. Solo piense en dos partículas, una en x=-1 y la segunda en x=1, ambas volando en la dirección y: mientras$\vec r_1 - \vec r_2$puntos de partícula uno a otro,$\vec v_1 - \vec v_2$y la fuerza calculada a partir de ella es cero.

Por eso la ley fuerte de acción y reacción conduce a la energía interna sólo en función de las distancias relativas: sólo las fuerzas que surgen de un potencial en función de las distancias relativas apuntan a lo largo de la línea que une las partículas.