¿Por qué se desvanece el trabajo virtual total realizado por las fuerzas de las restricciones? (Perpendicularidad de dos o más partículas)

Scheck supone que se cumple el principio del trabajo virtual (PVW) , es decir, que las fuerzas de restricción no realizan trabajo virtual. Esto a su vez conduce al principio de d'Alembert , cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

Uno puede probar el PVW para varias clases de fuerzas de restricción. Una clase importante son las fuerzas de restricción en un cuerpo rígido, cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

Creo que te estás refiriendo al principio de D'Alembert, que establece claramente que las fuerzas restrictivas no aportan ninguna contribución al trabajo, es decir, el trabajo virtual se desvanece.

$$\sum Z_i \cdot \delta r_i.$$

Y tienes razón en que estas fuerzas son perpendiculares a la superficie sobre la que se restringe el movimiento.

Puede comprender esto con más detalle al reconocer que un movimiento, en contraste con una partícula que se mueve libremente en un espacio tridimensional, puede, en principio, ser una restricción. Este movimiento restringido es inducido por fuerzas restrictivas. Ya hiciste el buen ejemplo donde el movimiento está restringido en una superficie particular. Cuando desee calcular las ecuaciones de movimiento newtonianas para su partícula, se encontrará con problemas, ya que a menudo se desconocen las fuerzas restrictivas. Puede introducir coordenadas generalizadas (esto conducirá a las ecuaciones de Lagrange) o puede usar el principio de D'Alembert.

Para restricciones holonómicas, las fuerzas de restricción no afectan el movimiento en una superficie$g(r,t)= 0$, por lo que estas fuerzas restrictivas son perpendiculares a la superficie definida por$g(r,t)= 0$.

tu ejemplo

Las ecuaciones de movimiento son:

$$m_1\,\ddot{x}_1=F_1+Z$$ $$m_2\,\ddot{x}_2=F_2-Z$$

o

$$\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \\ \end{bmatrix}\,\underbrace{\begin{bmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \\ \end{bmatrix}}_{\vec{\ddot{y}}}=\begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \\ \end{bmatrix}+\underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}}_{C_Z}\,Z\tag 1$$ la ecuación de la restricción

$$x_2-x_1=0\quad \Rightarrow \dot{x}_2=\dot{x}_1\tag 2$$

entonces$x_1=q_1$es la coordenada generalizada por lo tanto$\vec{\dot{y}}=J\,\dot{q}_1$

dónde

$J=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

and eq. (1) 

$$\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \\ \end{bmatrix}\,J\,\ddot{q}=\begin{bmatrix} F_1 \\ F_2 \\ \end{bmatrix}+\underbrace{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}}_{C_Z}\,Z\tag 3$$

para eliminar la fuerza de restricción$Z$multiplicamos la ecuación (3) desde la izquierda con$J^T$

$$J^T\,C_Z=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}=0$$

o

$$\delta x_1\,Z-\delta x_2\,Z=0$$

este es el principio del trabajo virtual

obtenemos las ecuaciones de movimiento

$$J^T\,M\,J\,\vec{\ddot{q}_1}=J^T\,\vec{F}$$

1. Tienes razón. No hay garantía de que las fuerzas de restricción no funcionen. Por ejemplo, si hay disipación, hay una pérdida irreversible de energía mecánica del sistema en calor. Un ejemplo sería la fricción superficial entre superficies sólidas, que en el caso general no se puede incorporar al formalismo lagrangiano porque no hay forma de definir un potencial correspondiente.

Sin embargo, si el cuerpo está rodando, el punto de contacto siempre tiene velocidad cero y el trabajo realizado por las fuerzas de fricción es cero.$-$tenga en cuenta que en este caso, la fuerza de fricción no es cero, pero la potencia generada debido a ella sí lo es. Esta es la razón por la que se puede utilizar el formalismo lagrangiano habitual para los casos en los que se garantiza la rodadura.

$\big[$Un ejemplo en el que puede incorporar la disipación es la fricción dependiente de la velocidad, y eso es mediante el uso de la función de disipación de Rayleigh (cf. Goldstein, capítulo 1); sin embargo, esta ya no es la mecánica lagrangiana habitual.$\big]$

2. Entonces, en la mecánica lagrangiana clásica, la forma correcta de considerar si las fuerzas de restricción están haciendo algún trabajo o no es decidir si hay disipación debido a las fuerzas de restricción. Como tu mismo afirmaste$-$la fuerza normal no realiza ningún trabajo, solo lo hace la componente paralela.

3. En el caso de un cuerpo rígido, se supone que la energía interna del cuerpo rígido (debido a varias fuerzas de corto y largo alcance) es independiente de la orientación del cuerpo rígido. En la mecánica clásica, esta suposición a menudo se argumenta a través de fuerzas internas que se supone que son iguales y opuestas, y que actúan a lo largo de la línea que une dos partes. Debido a la restricción de rigidez$-$que solo permite el movimiento relativo perpendicular entre dos partes cualesquiera del cuerpo rígido$-$las fuerzas de constricción no hacen ningún trabajo. Esto explica la situación con la varilla rígida liviana pegada con dos masas en tu problema.

4. Imagine una restricción no holonómica, por ejemplo, una partícula que está atrapada en el interior de una capa delgada, fija e indeformable. Las fuerzas de restricción pueden realizar trabajo cuando la partícula choca con las paredes del caparazón. Si las colisiones provocan pérdida de energía, las fuerzas de restricción funcionan (durante el curso de una colisión).

5. Imagina dejar caer una pelota giratoria verticalmente hacia abajo en el suelo$-$cuando la pelota rebota, en un escenario real, su velocidad angular cambia. Este es nuevamente un ejemplo de un componente paralelo haciendo trabajo. Por otro lado, si el suelo/bola son deformables o no rígidos, entonces la restricción en sí misma no es exacta. Aquí tiene todo tipo de efectos de disipación, ya que las oscilaciones inducidas debido a las colisiones se amortiguan y finalmente se disipan en forma de calor y sonido a medida que el cuerpo se relaja, por ejemplo. una cadena que se enrolla cerca de un agujero en una mesa y se desliza verticalmente hacia abajo.

6. Puede haber cualquier cantidad de fenómenos interesantes/misteriosos si los cuerpos están cargados (por ejemplo, imagine cuerpos cargados aislados). Las cargas interactúan a través del campo electromagnético que tiene su propia dinámica. Las suposiciones habituales de la mecánica newtoniana se desmoronan en tales casos, ya que el campo electromagnético puede arrastrar energía y cantidad de movimiento.