Ecuaciones Lagrangianas de Movimiento, Fuerzas Conservativas

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Ecuaciones Lagrangianas de Movimiento, Fuerzas Conservativas

efectivo
Física
energía potencial
campo conservativo
mecanica clasica
formalismo lagrangiano

Cecilio

Soy nuevo en este tema, así que tengan paciencia conmigo. Aquí en wikipedia tenemos las ecuaciones de movimiento lagrangianas :

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} (\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}) - \frac{\partial T}{\partial q} = F_{q} \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial T}{\partial q} = F_q \label{a}\tag{1}$

Dónde $\ T$ es la energía cinética del sistema. Un poco más abajo en la página de wikipedia vemos la ecuación de Euler-Lagrange (que es la ecuación con la que estoy familiarizado actualmente):

\begin{matrix} (2) & \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) - \frac{\partial L}{\partial q} = F_{q} \end{matrix}

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = F_q \label{b}\tag{2}$

donde el lagrangiano $\ L$ es

\begin{matrix} (3) & L = T - V \end{matrix}

$L = T - V \tag{3}$

Y $\ V$ es energía potencial.

Cuál es la diferencia entre $\ref{a}$ y $\ref{b}$ ? Parece tener algo que ver con las fuerzas conservadoras, pero tengo problemas para conectar los puntos aquí. ¿Cuándo sería apropiado usar una ecuación en lugar de la otra?

Respuestas (1)

Ecuaciones Lagrangianas de Movimiento, Fuerzas Conservativas

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Las ecuaciones de Lagrange generalizadas son

\begin{matrix} (1) & \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{j}} - \frac{\partial T}{\partial q_{j}} = q_{j} \end{matrix}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j \tag{1}$ dónde

T

$T$ es la energía cinética del sistema y

Q

$Q$ es la fuerza generalizada. Esta es la EoM más general y es equivalente a la de Newton.

F_{j} = m {\ddot{x}}_{j}

$F_j=m\ddot x_j$ .

Ahora, si la fuerza generalizada se puede escribir como

\begin{matrix} (2) & q_{j} = \frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_{j}} - \frac{\partial V}{\partial q_{j}} \end{matrix}

$Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial V}{\partial q_j} \tag{2}$ entonces, podemos enchufar esto en

(1)

$(1)$ :

\begin{matrix} (3) & \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{j}} - \frac{\partial T}{\partial q_{j}} = \frac{d}{d t} \frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_{j}} - \frac{\partial V}{\partial q_{j}} \end{matrix}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial V}{\partial \dot{q}_j} - \frac{\partial V}{\partial q_j} \tag{3}$

si definimos $L\equiv T-V$ , $(3)$ se puede reescribir como

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial L}{\partial q_{j}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{j}} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = 0 \tag{4}$ y obtenemos las ecuaciones de Euler-Lagrange.

En resumen: la expresión más general es $(1)$ , lo cual es cierto para cualquier fuerza $Q$ . En el caso especial en que $Q$ Se puede escribir como $(2)$ , entonces obtenemos la forma simplificada $(4)$ . El punto importante es que $(2)$ siempre es cierto para las fuerzas relevantes que estudiará, lo que significa que $(4)$ es la ecuación importante, la que debes recordar.

Tenga en cuenta que $(2)$ más o menos parece la condición para una fuerza conservativa

\begin{matrix} (5) & F_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q^{i}} \end{matrix}

$F_i=-\frac{\partial V}{\partial q^i}\tag{5}$ y de hecho es más general que eso: incluye potenciales que pueden depender de la velocidad, como la interacción de partículas cargadas con el campo electromagnético.

¡Gracias por la respuesta detallada! Lo aceptaré cuando el temporizador me lo permita (nuevas restricciones de cuenta). En mi libro Game Physics de Eberly, él deriva el movimiento de un péndulo con la ecuación (1). Está en las páginas 101 y 102 (visible públicamente en mi enlace de Amazon). ¿Alguna idea de por qué usó (1) en lugar de (4), si (4) es la versión simplificada? Seguramente las fuerzas son conservativas aquí.
de nada, me alegro de haber podido ayudar :-) Supongo que Eberly está usando (2) porque aún no ha introducido (4) (la primera vez que vemos las ecuaciones de Euler-Lagrange es en la página 129). En ese momento, en las páginas 101-102 solo ha introducido (2), por lo que hace el ejercicio de ejemplo con esas ecuaciones para mostrar cómo funcionan. Tal vez después de la página 129, cuando ya ha explicado el significado de $L$ rehará el ejemplo, esta vez con (4) en lugar de (2). Pero sí: en ese ejemplo la fuerza es conservativa, por lo que (4) es la mejor manera de abordar el problema.
Para cualquier otra persona que venga, encontré un ejemplo de movimiento de péndulo con y sin gravedad notado como una fuerza conservativa.
Puede ser relevante mencionar que la Ec. (2) es válido para interacciones fundamentales, pero no, en general, para fuerzas de fricción, que sí juegan un papel en la vida.

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Cecilio

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Cecilio

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Cecilio

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