Derivada funcional y variación de acción SSS vs Lagrangian LLL vs Lagrangian densidad LL\mathcal{L} vs Lagrangian 4-form LL\mathbf{L}

He visto muchos abusos potenciales de notación que me impiden comprender claramente los métodos variacionales en QFT y GR y quiero resolver esto de una vez por todas. Esto puede ser un poco largo, pero creo que vale la pena poner todo en un solo lugar.

Derivada funcional en QFT

Supongamos que quiero obtener una ecuación de movimiento. Si sigo la definición estándar (por ejemplo, Wikipedia , que da una expresión estándar hasta donde recuerdo), dada una acción para una teoría de campo de la forma

$$S[\Phi] = \int d^4x\,\mathcal{L}[\Phi,\partial_\mu\Phi]$$ dónde$\Phi$es un campo particular que nos interesa. Estableceré la variación de la acción$\delta S=0$. Ahora bien, esta variación se define formalmente como $$\begin{align} \delta S := \int d^4x\, \frac{\delta S}{\delta \Phi}\delta\Phi \end{align}$$ y definimos formalmente la cantidad$\delta S/\delta\Phi$ser la derivada funcional de$S$con respecto a$\Phi$(Puede haber una alternativa/interpretación rigurosa usando el derivado de Frechet con el que no estoy familiarizado, así que agradezco si alguien puede aclarar esto).

Ahora, la expresión en RHS de$\delta S$no tiene sentido a menos que sepa lo que es$\delta \Phi$y la derivada funcional$\delta S/\delta \Phi$. Esto se soluciona utilizando algún espacio apropiado de funciones de prueba, que para espaciotiempos asintóticamente planos sería el espacio de funciones que desaparecen en el límite$\partial M$del múltiple$M$(por ejemplo, funciones compatibles de forma compacta en$M$, denotado$C^\infty_c(M)$). Si$h\in C^\infty_c(M)$, tenemos

$$\begin{align} \int d^4x\,\frac{\delta S}{\delta \Phi}h = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{S[\Phi+\epsilon h]-S[\Phi]}{\epsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}S[\Phi+\epsilon h]\,, \end{align}$$ y lo que solemos llamar$\delta \Phi$es de hecho$\epsilon h$, que es consistente con el nombre "variación de$\Phi$". La expresión anterior también proporciona una definición de cómo tomar la derivada funcional de cualquier funcional. La ecuación estándar de Euler-Lagrange para la teoría de campos se obtiene diciendo que$\delta S=0$para todas las variaciones$\delta\Phi$que se desvanecen en el límite, lo que implica que $$\begin{align} 0 = \frac{\delta S}{\delta\Phi} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\Phi}- \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\Phi)}\,. \end{align}$$ Si bien puede ser obvio para algunos, se debe enfatizar que$\partial \mathcal{L}/\partial \Phi$no es una función sino un funcional de$\Phi,\partial_\mu\Phi$: solo ten en cuenta que$\Phi=\Phi(x^\mu)$. A esto le siguen, por ejemplo, los textos QFT de Blundell , implícitamente de Peskin y muchos otros lugares.

Si seguimos la ruta QFT de Weinberg, en cambio, trabaja con Lagrangian:

$$\begin{align} L = \int d^3x\,\mathcal{L}(\Phi,\partial_\mu\Phi)\,,\hspace{0.5cm} S= \int d x^0 L\,, \end{align}$$ y luego demuestre que se obtiene la misma ecuación de Euler-Lagrange cuando$\delta L = 0$. Puede verificar en el libro de texto de Weinberg que los pasos utilizados son exactamente los mismos que describí usando las acciones$S$excepto que eligió trabajar con$L$, el lagrangiano habitual (no la densidad lagrangiana) en lugar de la acción completa$S$.

P1: ¿Por qué podemos hacer estas dos variaciones diferentes?$\delta S=0$y$\delta L=0$y obtener la misma respuesta? Claramente hay alguna conexión entre$\delta S$y$\delta L$, pero mi problema surge de este problema: me parece que la variación$\delta\Phi$se ve diferente en estos dos casos, ya que uno es la variación bajo$d^4x$y el otro esta en$d^3x$: efectivamente, la función de prueba$\delta\Phi\equiv \epsilon h$para$\delta L$el caso solo necesita preocuparse por la integral espacial, mientras que$\delta S$requiere integral de espacio-tiempo. O los dos significan lo mismo o algo sutil que se me pasó por alto los hace iguales al final.

ACTUALIZACIÓN 1: creo que podría haber descubierto Q1 (o al menos parcialmente). Tiene que ver con el hecho de que Weinberg tuvo que dividir Euler-Lagrange para la derivada espacial y la derivada temporal, por lo que trató$\partial_j\Phi$y$\dot{\Phi}$por separado (ver discusiones sobre su ecuación (7.2.1-7.2.7) más o menos). Ciertamente me vendría bien alguna aclaración/confirmación.

Derivada funcional en GR

En GR, hay una situación en la que desea trabajar con el formalismo canónico que lo lleva a comprender las cargas superficiales y las cantidades conservadas similares a las anteriores. La diferencia habitual, sin embargo, es que el método formalmente diferencia las formas para hacer que las cosas funcionen. No trabajas con densidad lagrangiana sino con forma lagrangiana de 4$\mathbf{L}$(ver, por ejemplo, el formalismo de Iyer-Wald o notas de conferencias avanzadas sobre GR de Compere aquí, entre muchos otros). aquí,$\mathbf{L} = L\,d^4x$entonces$L$es realmente una densidad lagrangiana como normalmente conocemos en QFT. Por conveniencia, centrémonos en las notas de Compere (que son bastante limpias y están bien escritas). Sin embargo, en estos contextos, la variación de$\mathbf{L}$es el que da la ecuación de movimiento, y definen formalmente

$$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \Phi}:=\frac{\partial L}{\partial \Phi}-\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu\Phi)}\,. \end{align}$$

Hasta donde yo sé, en estos contextos en los que se trabaja con la forma Lagrangiana de 4 formas y el formalismo simpléctico, el cálculo es riguroso (módulo que hace un análisis intenso), es decir, no hay movimiento de manos ni nada, pero las definiciones aquí son inconsistentes para mí con QFT. Escribí arriba: después de todo, en estos dos documentos/notas$L$es la densidad lagrangiana y por lo tanto, reemplazando$L$con$\mathcal{L}$para que coincida con la versión QFT, significa que la ecuación de Euler-Lagrange es

$$\begin{align} 0=\frac{\delta \mathcal L}{\delta \Phi} \neq \frac{\delta S}{\delta \Phi}\,,\frac{\delta L_{\text{Weinberg}}}{\delta \Phi}\,. \end{align}$$ Tenga en cuenta también que en este formalismo, la definición de tensor de tensión conservado también se deriva de la variación de la forma 4 de Lagrangian con respecto al difeomorfismo infinitesimal generado por el vector$\xi^\mu$, es decir $$\begin{align} \delta_\xi\mathbf{L} = \text{d}(...)\Longrightarrow \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\,. \end{align}$$ dónde$\text{d}(...)$es el derivado exterior de alguna forma de 3 (es decir, RHS es una forma de 4 exacta).

P2: ¿Esto es abuso de notación, inconsistencia o hay algo que me estoy perdiendo fundamentalmente aquí?

De todas las personas, me cuesta creer que Wald/Compere (y muchos otros que no recuerdo) cometan abusos de notación de este tipo (si es que lo hacen), así que o me pierdo algo trivial o está pasando algo que yo no entiendo