no entiendo porque
Si usamos la integración por partes, debería haber un signo menos, ¿no? No debería todavía estar allí? ¿O estamos diciendo que
En esta respuesta, solo haremos un comentario conceptual general sobre la derivada variacional/funcional (FD), que con suerte responde implícitamente a las preguntas específicas de OP.
OP aparentemente está considerando el FD del 'mismo espacio-tiempo',
[Usamos el símbolo (en vez de ) para enfatizar el hecho de que la derivada es una derivada total , que implica tanto la diferenciación implícita a través de las variables de campo , y diferenciación explícita wrt. . los puntos suspensivos en la ec. (A) denota posibles contribuciones de derivados del espacio-tiempo de orden superior.]
El FD del 'mismo espacio-tiempo' está diseñado para producir una notación más corta y reproducir la conocida fórmula de Euler-Lagrange para la derivada variacional/funcional.
Pero es importante enfatizar que la notación del 'mismo espacio-tiempo' (A) es conceptualmente engañosa: no estamos variando la densidad lagrangiana wrt. el campo en el mismo punto del espacio-tiempo , como puede sugerir la notación (A). Realmente estamos variando la acción funcional wrt. el campo .
Para obtener más información, consulte también, por ejemplo, esta y esta publicación de Phys.SE.
La derivada funcional actúa sobre funcionales , cosas que asignan funciones a números reales. Es decir, actúan sobre acciones. , no lagrangianos . No sé de dónde sacaste tu pregunta original, ¡pero debería haber un signo menos! En total, creo que lo que estás preguntando es por qué:
Hay fórmulas rápidas que puede buscar, pero para entender siempre me resulta más fácil trabajar con la variación directamente. Primero, toma tu término y hacer la transformacion :
Ahora probablemente puedas ver a dónde va esto, el será contabilizado por los dos términos en la expansión. ¡Esta es realmente solo la regla del producto!
para extraer el puedes integrar cada término por partes, eliminando la derivada total porque esto es física y todo es 0 en el límite :)
La sección 9.2 de Peskin & Schroeder repasa los axiomas de la integración funcional si desea ver una versión más formal.