Derivada funcional en la teoría de campos de Lagrange

Contrariamente a su afirmación cerca del final de su pregunta, afirmo que la derivada temporal del campo se trata como un argumento "independiente" del Lagrangiano. Trataré de convencerte de esto mostrándote cómo esta independencia lleva a que todo funcione como tú crees que debería. Algunos de los puntos clave se encuentran al final, así que lea hasta el final antes de sucumbir al escepticismo.

En aras de la simplicidad, supongamos desde el principio que estamos considerando una teoría clásica de campos$\phi:\mathbb R^2\to\mathbb R$. Dejar$\mathcal F$denote el conjunto de campos admisibles en esta teoría. Denotamos el argumento del primer campo con$t$y el segundo argumento con$x$, entonces escribimos$\phi(t,x)$como siempre.

Bien, ahora pasemos al Lagrangiano. Para describir esto correctamente, imagina tomar el$x$fijo el argumento de un campo en nuestra teoría, entonces esto produce una función de valor real de una sola variable real$\phi(\cdot, x):\mathbb R\to\mathbb R$. Suponer que$\mathcal G$denota el conjunto de tales funciones. Entonces el Lagrangiano se puede definir como un funcional$L:\mathcal F\times\mathcal F\to\mathcal G$. En otras palabras, toma en dos funciones que mapean$\mathbb R^2\to\mathbb R$y genera una función que mapea$\mathbb R\to\mathbb R$. Etiquetamos el primer argumento sugestivamente por$\phi$y el segundo argumento sugestivamente por$\dot \phi$, pero en principio, se puede evaluar$L$en cualquier campo$\phi$y$\psi$que uno elige y escribe, por ejemplo$L[\phi, \psi]$. Afirmo que las definiciones de los derivados funcionales relevantes son las siguientes:

$$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{L[\phi+\epsilon\Delta_x,\dot\phi](t)-L[\phi,\dot\phi](t)}{\epsilon} \\ \frac{\delta L}{\delta \dot\phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{L[\phi,\dot\phi+\epsilon\Delta_x](t)-L[\phi,\dot\phi](t)}{\epsilon} \end{align}$$ donde, estoy usando la notación $$\begin{align} \Delta_{x}(t,x') = \delta(x'-x) \end{align}$$ Note que esto es esencialmente como tomar derivadas parciales porque variamos los argumentos de $L$independientemente.

Ahora, supongamos que tenemos una teoría descrita por una densidad lagrangiana que es una función local del campo y sus primeras derivadas. Entonces la densidad lagrangiana se define como una función$\mathscr L:\mathbb R^3\to\mathbb R$y, como anticipamos que pondremos los valores del campo y sus derivados en los argumentos de la densidad lagrangiana, etiquetamos sus tres argumentos con los símbolos$\phi, \dot \phi, \phi'$. los simbolos$\dot\phi$y$\phi'$se supone que indican sugerentemente que los argumentos de la densidad lagrangiana están destinados a ser evaluados en los valores de un campo y su derivada de tiempo y espacio. Esto es, por supuesto, un poco de abuso de notación ya que$\phi$generalmente se reserva como un símbolo para el campo, una función$\mathbb R^2\to\mathbb R$, no para los valores del campo. Pero mientras tengamos presente este abuso de la notación, no debemos confundirnos. Entonces tenemos

$$\begin{align} L[\phi, \dot\phi](t) = \int dx' \,\mathscr L(\phi(t,x'), \dot\phi(t,x'), \phi'(t,x')) \end{align}$$ Ahora apliquemos las definiciones de las derivadas funcionales anteriores y veamos qué obtenemos. Por un lado, tenemos $$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \dot\phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to0}\frac{\int dx'\,\mathscr{L}(\phi(t,x'),\dot{\phi}(t,x')+\epsilon\delta(x'-x),\partial_{x'}\phi(t,x'))-\int dx'\,\mathscr{L}}{\epsilon} \\ &= \int dx'\,\frac{\partial\mathscr L}{\partial \dot\phi}(\phi(t,x'), \dot\phi(t,x'), \phi'(t,x'))\,\delta(x'-x) \\ &= \frac{\partial\mathscr L}{\partial \dot\phi}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x)) \end{align}$$ que es exactamente lo que dijiste que deberías obtener en tu pregunta. Del mismo modo, te dejaré mostrar que la definición anterior produce $$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x)) \\ &\hspace{2cm}-\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi'}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x))\right] \end{align}$$ o, si relajamos un poco la notación ya que sabemos lo que estamos haciendo ahora, podemos resumir esto como $$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \dot\phi} = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\dot\phi}, \qquad \frac{\delta L}{\delta \phi} = \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi'} \end{align}$$ Ahora, supongamos que queremos obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange. Para esto, definimos la acción de nuestra teoría como una función $S:\mathcal F\to\mathbb R$como sigue: $$\begin{align} S[\phi]=\int dt \,L[\phi, \dot\phi](t) \end{align}$$ Note que aquí, el símbolo $\dot\phi$ denota la derivada temporal parcial del campo $\phi$, a saber $\dot\phi = \partial_t\phi$. El punto clave aquí es que aunque los argumentos del Lagrangiano son independientes, siempre tenemos la libertad de evaluar los argumentos sobre un campo y su derivada que ciertamente no son independientes. En particular, esto significa que si variamos la acción, entonces en la integral del lado derecho, podemos realizar el tipo de integración por partes que le preocupaba que no pudiéramos hacer. De hecho, si varías la acción, encontrarás que $$\begin{align} \delta S[\phi] &= \int dt\,dx\,\left[\frac{\delta L}{\delta\phi} - \frac{\partial}{\partial t}\frac{\delta L}{\delta\dot\phi}\right]\delta\phi \end{align}$$ por lo tanto, al establecer la variación en cero y usar los resultados que obtuve anteriormente usando las definiciones reclamadas de las derivadas variacionales parciales, obtenemos las ecuaciones estándar de Euler-Lagrange $$\begin{align} \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} -\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot\phi} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi'}=0. \end{align}$$

Esta respuesta puede verse como un complemento de la respuesta correcta de joshphysics, posiblemente enfatizando cosas ligeramente diferentes y usando palabras ligeramente diferentes.

Antes de definir las derivadas funcionales/variacionales en el formalismo lagrangiano, es crucial comprender exactamente qué variables son independientes entre sí y cuáles no. En otras palabras, ¿qué variables podemos variar libremente y cuáles no?

Esto es más fácil de entender en la mecánica de puntos (PM), consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Aquí nos centraremos en$n+1$teoría del campo dimensional (FT) con$n$dimensiones espaciales y una dimensión temporal.

Supongamos por simplicidad que solo hay un campo$q$(que por razones semánticas llamaremos campo de posición). El campo$q$es entonces una función$q:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$. También hay un campo de velocidad.$v:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

I) Sea dado un instante de tiempo arbitrario pero fijo$t_0\in [t_i,t_f]$. El Lagrangiano (instantáneo) es un funcional local

$$\begin{align}L&[q(\cdot,t_0),v(\cdot,t_0);t_0]\cr ~=~&\int \!d^nx~{\cal L}\left(q(x,t_0),\partial q(x,t_0),\partial^2q(x,t_0), \ldots,\partial^Nq(x,t_0);\right. \cr &\left. v(x,t_0),\partial v(x,t_0),\partial^2 v(x,t_0), \ldots,\partial^{N-1} v(x,t); x,t_0\right),\end{align}\tag{1}$$

dónde$\partial$denota derivado espacial (en oposición a temporal). Aquí$N$es finito para un FT local, y$N\leq 1$para una FT relativista. La densidad lagrangiana${\cal L}$es una función de las variables enumeradas en la ecuación (1).

El (instantáneo) Lagrangiano (1) es un funcional tanto de la posición instantánea$q(\cdot,t_0)$y la velocidad instantanea$v(\cdot,t_0)$en el instante$t_0$. Aquí$q(\cdot,t_0)$y$v(\cdot,t_0)$son variables independientes . Más precisamente, son perfiles independientes (distribuidos espacialmente), o en otras palabras, funciones independientes$\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$sobre el$x$-espacio. El (instantáneo) Lagrangiano (1) puede en principio también depender explícitamente de$t_0$. Nótese que el Lagrangiano (instantáneo) (1) no depende del pasado$t<t_0$ni el futuro$t>t_0$.

Por lo tanto, tiene sentido definir diferenciaciones funcionales de igual tiempo como

$$\frac{\delta q(x,t_0)}{\delta q(x^{\prime},t_0)} ~=~\delta^n(x-x^{\prime}), \qquad \frac{\delta v(x,t_0)}{\delta q(x^{\prime},t_0)}~=~0,$$ $$\frac{\delta v(x,t_0)}{\delta v(x^{\prime},t_0)} ~=~\delta^n(x-x^{\prime}),\qquad \frac{\delta q(x,t_0)}{\delta v(x^{\prime},t_0)}~=~0. \tag{2}$$

Y tiene sentido definir el momento canónico como

$$p(x,t_0) ~:=~\frac{\delta L[q(\cdot,t_0),v(\cdot,t_0);t_0]}{\delta v(x,t_0)}, \tag{3}$$

donde se entiende implícitamente que la posición$q$se mantiene fijo en la diferenciación de velocidad (3). En el$N\leq 2$caso, la definición de momento de la teoría de campo (3) se convierte en

$$\begin{align}&p(x,t_0)~=~\cr &\left(\frac{\partial }{\partial v(x,t_0)}- \sum_{i=1}^n\frac{d}{dx^i}\frac{\partial }{\partial (\partial_iv(x,t_0))}\right)\cr &{\cal L}\left(q(x,t_0),\partial q(x,t_0),\partial^2q(x,t_0); v(x,t_0),\partial v(x,t_0);x,t_0\right) .\end{align} \tag{4}$$

En el$N\leq 1$caso, la definición de momento de la teoría de campo (3) se convierte simplemente en una derivada parcial

$$p(x,t_0) ~=~\frac{\partial{\cal L}\left(q(x,t_0),\partial q(x,t_0); v(x,t_0);x,t_0\right) }{\partial v(x,t_0)} .\tag{5}$$

II) Finalmente integremos con el tiempo$t\in[t_i,t_f]$. El funcional de acción dice:

$$S[q]~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ \left. L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]\right|_{v=\dot{q}}.\tag{6}$$

Aquí la derivada del tiempo$v=\dot{q}$depende de la funcion$q:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

$$\frac{\delta q(x,t)}{\delta q(x^{\prime},t^{\prime})} ~=~\delta^n(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), \tag{7}$$

$$\frac{\delta \dot{q}(x,t)}{\delta q(x^{\prime},t^{\prime})} ~=~\delta^n(x-x^{\prime})\frac{d}{dt}\delta(t-t^{\prime}) ~\equiv~\delta^n(x-x^{\prime})\delta^{\prime}(t-t^{\prime}). \tag{8}$$

En particular, no tiene sentido variar de forma independiente wrt. a la velocidad en la acción (6) manteniendo la posición fija.

Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.