¿Por qué Peskin y Schroeder están tomando derivadas funcionales de la densidad lagrangiana cuando no es funcional?

Question

¿Por qué Peskin y Schroeder están tomando derivadas funcionales de la densidad lagrangiana cuando no es funcional?

sérico

Tengo algunas dudas con respecto a la ecuación 11.58 (ver más abajo) en el libro QFT de Peskin y Schroeder. Si entiendo correctamente, están expandiendo la densidad lagrangiana sobre $\phi_{\text{cl}}$ escribiendo $\phi(x) = \phi_{\text{cl}}(x) + \eta(x)$ , después de lo cual hacen la siguiente expansión:

L_{1} [ϕ] = L_{1} [ϕ_{cl}] + \int d^{4} X \frac{d L_{1}}{d ϕ (X)} η (X) + \int d^{4} X d^{4} y \frac{1}{2!} \frac{d^{2} L_{1}}{d ϕ (X) d ϕ (y)} η (X) η (y) + \dots,

$\mathcal{L}_1[\phi] = \mathcal{L}_1[\phi_\text{cl}] + \int d^4x\; \frac{\delta\mathcal{L}_1}{\delta\phi(x)} \eta(x) + \int d^4x \; d^4y\; \frac{1}{2!} \frac{\delta^2\mathcal{L}_1}{\delta\phi(x)\delta\phi(y)} \eta(x) \eta(y) + \cdots,$ donde todas las derivadas funcionales se evalúan en

ϕ_{cl}

$\phi_\text{cl}$ .

Mi pregunta es: la densidad lagrangiana es simplemente una función de $\phi$ , no funcional (cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE), ¿por qué entonces estamos tomando derivados funcionales en lugar de derivados 'ordinarios'? Además, si la fórmula anterior es correcta, ¿no debería haber una integral doble en el término lineal en $\eta(x)$ en la ecuación 11.58?

Citado de la pág. 371 del libro QFT de Peskin y Schroeder:

Respuestas (1)

¿Por qué Peskin y Schroeder están tomando derivadas funcionales de la densidad lagrangiana cuando no es funcional?

qmecanico · Answer 1

OP tiene un punto. Si

\begin{matrix} (*) & S_{1} := \int d^{4} X L_{1} \end{matrix}

$S_1~:=~\int d^4x ~\mathcal{L}_1\tag{*}$ denota la acción funcional correspondiente, luego las 3 últimas apariciones de

L_{1}

$\mathcal{L}_1$ en la ec. (11.58) debería ser estrictamente hablando

S_{1}

$S_1$ no

L_{1}

$\mathcal{L}_1$ . Tenga en cuenta que tal abuso de notación como en eq. (11.58) es bastante común. Ver también, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

¡Gracias por la aclaración! Esa ecuación finalmente tiene sentido para mí ahora. Estoy un poco perplejo de que los autores no explicaron ese abuso de notación a los lectores (¿o tal vez lo hicieron y simplemente lo hojeé?). ¡Gracias de todos modos!

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sérico

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qmecanico

sérico

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