Derivación correcta de las ecuaciones de Einstein a partir de la acción de Hilbert

Lo que creo que te está haciendo tropezar aquí es el uso de la notación de derivadas parciales en el cálculo de variaciones. Por lo general, es mucho más fácil, especialmente cuando se realizan cálculos en GR, usar$\delta$notación de -operador en su lugar. (El$\delta$-el operador, por definición, obedece la regla del producto:$\delta(fg) = f \delta g + g \delta f$.) No obstante, he escrito los conceptos básicos de lo que está pasando aquí en su notación; Tengo que hacer un poco de chapuza al final (¡mira si puedes detectarlo!), pero puedes estar seguro de que escribir todo usando$\delta$-operators hace que todo sea un poco más riguroso.

Así que tomemos la derivada funcional del producto.$F (g, \partial g) G(g, \partial g)$:

$$\delta \left[ F (g, \partial g) G(g, \partial g) \right] = \left( \frac{\partial F}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) G( g^{ij}, \partial_k g^{ij}) + \left( \frac{\partial G}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) F( g^{ij}, \partial_k g^{ij})$$ Los primeros términos de cada paréntesis (proporcional a $\partial F/\partial g^{ij}$& $\partial G/\partial g^{ij}$) obviamente obedecen la regla del producto cuando se toman en conjunto, así que concentrémonos en los demás:
$$\left(\frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) G + \left( \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \delta( \partial_k g^{ij}) \right) F \\ = \partial_k \left[ \left( \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right) \delta g^{ij} \right] - \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right] \delta g^{ij}$$ y así (descartando la derivada total) tenemos $$\frac{\delta \left[ F (g, \partial g) G(g, \partial g) \right]}{\delta g^{ij}} = G \frac{\partial F}{\partial g^{ij}} + F\frac{\partial G}{\partial g^{ij}} - \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right]. \qquad {(1)}$$ Este último término no será, como se observa en general, igual a $$- G \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right] - F \partial_k \left[\frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right]$$ como cabría esperar de la regla del producto.

Sin embargo, en el caso de la acción de Einstein-Hilbert, tenemos$F = \sqrt{-g}$y$G = R$. Desde$\nabla_k F = 0$(recuerde, realmente deberíamos estar usando derivadas covariantes arriba) y dado que$\partial F/\partial (\partial_k g^{ij}) = 0$, el segundo término en (1) se convierte en

$$- \partial_k \left[ \frac{\partial F}{\partial (\partial_k g^{ij})} G + \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} F \right] = - F \partial_k \left[ \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right] = - G \partial_k [0] - F \partial_k \left[ \frac{\partial G}{\partial (\partial_k g^{ij})} \right],$$ que es lo que esperaría de la regla del producto. Una lógica similar se extiende al caso en que $G$(pero no $F$) depende de las derivadas superiores de los campos.

Creo que es importante entender qué es exactamente el diferencial funcional$\delta$está haciendo. tenemos un funcional$S:\mathscr E\to \Bbb R$, dónde$\mathscr E$es un espacio vectorial de configuraciones de campo (campos de tensor suave o lo que sea). Tomamos una familia suave$\psi_\epsilon$de campos, donde$\epsilon\in (-\delta,\delta)$. Como$\epsilon$varía, obtenemos una familia$S_\epsilon=S(\psi_\epsilon)$. Definimos$\delta S/\delta\psi(\psi_0)$con la condición de que para cada una de esas familias con$\psi_0$arreglado, tenemos

$$\delta S:=\left.\frac{dS_\epsilon}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}=\int_M \frac{\delta S}{\delta\psi}(\psi_0)\delta\psi,\quad \delta\psi:=\left.\frac{d\psi_\epsilon}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}.$$ Si $S=\int L$, entonces simplemente tenemos $$\frac{dS}{d\epsilon}=\int_M \frac{dL}{d\epsilon}\,\mu,$$ dónde $\mu$es alguna medida que no depende de $g$. Configuración $\epsilon=0$da $$\delta S=\int_M\delta L\,\mu.$$ Entonces $\delta$es de hecho una derivación porque es $d/d\epsilon$.

Después de reflexionar sobre la respuesta de Michael Seifert, me di cuenta de cuál es la resolución completa de mi problema. El problema es que la expresión$\delta \mathcal{L}$, que se define como

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial g^{ij}} \delta g^{ij} + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_k g^{ij})} \partial_k (\delta g^{ij}) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_l \partial_k g^{ij})} \partial_l \partial_k (\delta g^{ij}),$$

no se puede confundir con$\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}}$, a diferencia de los diferenciales. Esto se debe a que no tenemos la aproximación lineal.

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}} \delta g^{ij}$$

como, de nuevo, tenemos para los diferenciales, pero más bien

$$\delta \mathcal{L} = \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta g^{ij}} \delta g^{ij} + \partial_i f^i,$$

para algunos vectores$f^i$. Esta diferencia es lo que impide$\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta g^{ij}}$de ser una derivación. Haciendo todo el cálculo con el operador$\delta$en lugar de la derivada funcional$\frac{\delta}{\delta g^{ij}}$funciona muy bien. Esto es en realidad lo que se muestra en la página de Wikipedia; Simplemente asumí que el$\delta$-la notación diferencial era una abreviatura.