¿Son las derivadas parciales del Lagrangiano en la acción variada derivadas funcionales?

Sí, OP tiene razón. En el caso de teoría de campo, las derivadas parciales en la primera fórmula de OP (1) deben reemplazarse con derivadas funcionales

$$\delta S~=~\int_{t_1}^{t_2}\!\mathrm{d}t\left(\frac{\delta L}{\delta q}~\delta q+\left. \frac{\delta L}{\delta v}\right|_{v=\dot{q}}~\delta \dot{q}\right),\tag{1'}$$

donde el lagrangiano

$$L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]~=\int \! \mathrm d^3x~ {\cal L}(q(x,t),v(x,t), ~\partial_x q(x,t), \partial_x v(x,t),~\ldots , t)$$

es un funcional. los puntos suspensivos$\ldots$indica dependencia de posibles derivadas de orden superior. Consulte mis respuestas de Phys.SE aquí y aquí para obtener más detalles.

Esto solo complementa la respuesta de Qmechanic. Creo que las notaciones aquí deben abordarse. OP podría estar confundiendo Lagrangian (normal$L$) con densidad lagrangiana ($\mathcal{L}$). Formalmente, tenemos tres relaciones fundamentales:

$$L = \displaystyle\int \mathcal{L}(\phi(x,t),\dot \phi(x,t),x,t) \mathrm d^3x$$ $$S = \displaystyle\int dt \space L = \displaystyle\int dt\int \mathcal{L}(\phi(x,t),\dot \phi(x,t),x,t) \mathrm d^3x$$ $$\delta S=\displaystyle\int_\sigma~\mathrm d^4x\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}~\delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial _\mu \phi)}~\delta \partial_\mu \phi\right).\tag{2}$$ (x en realidad significa todas las variables espaciales en las ecuaciones anteriores)

Entonces tomarías derivadas parciales en la densidad lagrangiana$\mathcal{L}$, pero tome derivadas funcionales en el Lagrangiano$L$. Sin embargo, en general:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \neq \frac{\delta L}{\delta \phi}$$ Para la derivación de esta desigualdad, vea esta respuesta SE .