¿Por qué el sujetador y el ket se pueden variar de forma independiente?

Question

¿Por qué el sujetador y el ket se pueden variar de forma independiente?

Física
teoría de campo
números complejos
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
derivados funcionales

james womack

Dado un funcional que depende de una función (ket), y su complejo conjugado (bra), por ejemplo

F [φ] = ⟨ φ | \hat{F} | φ ⟩ = \int φ^{*} (r) \hat{F} φ (r) d r

$F[\varphi] = \langle \varphi|\hat{F}|\varphi\rangle = \int \varphi^{*}(\mathbf{r}) \hat{F} \varphi(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r}$ Me han dicho que podemos variar el sujetador y el ket independientemente, es decir, la primera variación de

F

$F$ en el sostén está dada por

d F = \int \frac{d F}{d φ^{*}} η (r) d r = \frac{d}{d ϵ} {[\int (φ^{*} (r) + ϵ η (r)) (r) \hat{F} φ (r) d r]}_{ϵ = 0},

$\delta F = \int \frac{\delta F}{\delta \varphi^{*}} \eta(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\left[ \int (\varphi^{*}(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r}))(\mathbf{r}) \hat{F} \varphi(\mathbf{r}) \mathrm{d}\mathbf{r}\right]_{\epsilon = 0},$ y no

d F = \int \frac{d F}{d φ^{*}} η (r) d r = \frac{d}{d ϵ} {[\int (φ^{*} (r) + ϵ η (r)) (r) \hat{F} (φ (r) + ϵ η (r)) d r]}_{ϵ = 0},

$\delta F = \int \frac{\delta F}{\delta \varphi^{*}} \eta(\mathbf{r}) \, \mathrm{d}\mathbf{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}\left[ \int (\varphi^{*}(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r}))(\mathbf{r}) \hat{F} (\varphi(\mathbf{r})+\epsilon\eta(\mathbf{r})) \mathrm{d}\mathbf{r}\right]_{\epsilon = 0},$ como cabría esperar.

Si lo anterior es correcto, ¿cómo se puede demostrar que el sostén y el ket se pueden variar de forma independiente?

mikael fremling

el argumento se reduce al hecho de que su ket representa números complejos, donde la parte real y la parte imaginaria pueden variar de forma independiente. Esto se traduce en que el número complejo y su complejo conjugado pueden verse como variables independientes.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/89002/2451 y enlaces allí.

Respuestas (1)

¿Por qué el sujetador y el ket se pueden variar de forma independiente?

el argumento se reduce al hecho de que su ket representa números complejos, donde la parte real y la parte imaginaria pueden variar de forma independiente. Esto se traduce en que el número complejo y su complejo conjugado pueden verse como variables independientes.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/89002/2451 y enlaces allí.

una mente curiosa · Answer 1

Esto no tiene nada que ver con "bras" o "kets" y más con la observación elemental de que un número complejo tiene dos grados de libertad reales, y que las derivadas son con respecto a un grado de libertad real.

El $\frac{\partial}{\partial\phi}$ y $\frac{\partial}{\partial\phi^\ast}$ son los derivados de Wirtinger , que en particular cumplen $\frac{\partial\phi^\ast}{\partial\phi} = 0$ , es decir, la derivada de algo con respecto a su conjugado es cero.

Esto naturalmente se generaliza a las derivadas funcionales con respecto a una función compleja.

Gracias por tu útil respuesta. Cuando publiqué la pregunta, me di cuenta de que era más fundamental que la notación bra-ket. Sin embargo, esta fue la forma en que originalmente concebí la pregunta (antes de investigar el problema) y pensé que otras personas con la misma pregunta podrían encontrar esto más rápido relacionándolo directamente con la notación bra-ket.
Sería de gran ayuda si pudiera elaborar la generalización a derivadas funcionales. Hay muchos recursos en línea que discuten este resultado en términos de derivadas parciales, pero todavía tengo que encontrar uno que exprese claramente el resultado en términos de derivadas funcionales.
@JamesWomack: Puede, en analogía completa, definir $\frac{\partial}{\partial \phi_i}$ como las derivadas funcionales se escriben con las partes reales, y luego definir las derivadas complejas exactamente como las derivadas de Wirtinger. Dado que la derivada funcional cumple la misma regla de la cadena que la derivada ordinaria, y la razón por la que las derivadas de Wirtinger son las derivadas complejas "correctas" es simplemente la regla de la cadena, no importa en absoluto que las derivadas sean funcionales.

¿Por qué el sujetador y el ket se pueden variar de forma independiente?

james womack

mikael fremling

qmecanico

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una mente curiosa

james womack

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