¿Cuál es el significado del propagador de Feynman para el oscilador armónico cuántico impulsado?

Considere un oscilador armónico cuántico que es impulsado durante un tiempo finito por una fuerza j ( t ) , y obra íntegramente en el cuadro de Heisenberg. Entonces podemos definir el vacío de 'entrada' y 'salida'

| 0 en ⟩ , | 0 afuera ⟩
ser los estados fundamentales del hamiltoniano en tiempos tempranos y tardíos. En la imagen de Schrödinger, el vacío 'adentro' corresponde a un estado en el estado fundamental QHO habitual antes de que comience la conducción, mientras que el vacío 'afuera' corresponde a un estado que termina en ese estado cuando termina la conducción.

En el libro de Mukhanov y Winitzki, la función de Green retrasada se define como un elemento de matriz entre estados 'en',

⟨ 0 en | q ^ ( t ) | 0 en ⟩ = ∫ j ( t ′ ) GRAMO retirado ( t , t ′ ) d t ′ , GRAMO retirado ( t , t ′ ) = pecado ⁡ ω ( t − t ′ ) ω θ ( t − t ′ ) .
Esto tiene perfecto sentido pensando semiclásicamente, como ⟨ q ^ ( t ) ⟩ es solo la posición promedio de la partícula, dado que estuvo en reposo en el pasado lejano; esa es básicamente la definición de lo que es un propagador retrasado. De manera similar, uno puede definir el propagador avanzado usando | 0 afuera ⟩ .

Finalmente, Mukhanov y Winitzki definen el propagador de Feynman por

⟨ 0 afuera | q ^ ( t ) | 0 en ⟩ ∝ ∫ j ( t ′ ) GRAMO F ( t , t ′ ) d t ′ .
Ahora, he estado buscando una comprensión intuitiva del propagador de Feynman durante años. Las explicaciones típicas en la teoría cuántica de campos hablan de "soluciones de energía negativa" y antipartículas (por ejemplo, aquí ) que siempre me han confundido, ya que no existen en la mecánica cuántica ordinaria (como pregunté aquí ). ¡Pero arriba tenemos un propagador de Feynman para un sistema no QFT excepcionalmente simple! Entonces, si hay una explicación intuitiva, estará aquí, pero no puedo ver qué significa físicamente el elemento de matriz.

Tengo dos preguntas: primero, ¿cómo es esto equivalente a la definición habitual del propagador de Feynman, que implica una elección de contorno particular? En segundo lugar, ¿hay palabras intuitivas que uno pueda envolver en torno a esta definición? ¿Proporciona alguna percepción física adicional?

No creo que la pregunta sea realmente significativa. Los propagadores de Feynman son objetos útiles que se introducen en QFT porque son naturales para usar allí (debido al orden del tiempo). Si también son útiles para introducir en QM, ¿por qué no usarlos?
@Adam Si solo me importara si los objetos eran útiles para manipulaciones abstractas, fuera de cualquier significado físico, ¡me habría convertido en matemático!
Lo que quiero decir es que no creo que su comentario de que los propagadores de Feynman son sorprendentes en QM tenga mucho sentido. Aparecen cada vez que tienes operadores y ordenes de tiempo. Esto ya sucede en QM, por ejemplo, en un formalismo de integral de ruta ⟨ q ( t ) q ( t ′ ) ⟩ es siempre un propagador de Feynman, porque el formalismo de la integral de trayectoria siempre es un operador de orden temporal. No estoy lo suficientemente familiarizado con el formalismo de entrada y salida para ver fácilmente cómo entran en ese caso.
@Adam, estoy tratando de dejar fuera a los correladores, porque tengo aún menos intuición para ellos. No hay correladores ni órdenes de tiempo en esta pregunta o en mi otra pregunta.
"¿Cuál es el significado físico de un valor esperado entre un estado 'dentro' y 'fuera'?" ¿Hay alguna razón por la que la respuesta para esto deba ser diferente a cualquier otra amplitud de un operador intercalado entre dos estados, es decir, aproximadamente el acoplamiento entre los estados debido a ese operador? En otras palabras, a excepción del operador utilizado, ¿su pregunta es materialmente diferente de otras como esta: physics.stackexchange.com/questions/209350/… ?
@Rococo Puede decir que todo en QM es solo una amplitud, pero la función de Green retrasada tiene mucho mejor que eso: es cómo reacciona la posición de la masa cuando la empuja, produjo que comenzara en reposo, al igual que el clásico versión. Así que pregunto si existe una interpretación igualmente agradable para la función de Feynman Green.
@knzhou Supongo que no veo mucho de una 'mejor interpretación física'. Si la función de Green retrasada, que está intercalada entre dos estados idénticos, es el valor esperado de una posición, entonces sería mi suposición ingenua que Feynman Green, que en cambio usa dos estados diferentes, corresponde a un acoplamiento en el mismo sentido que cualquier elemento de matriz fuera de la diagonal. Esas explicaciones me parecen estar precisamente en el mismo 'nivel de bondad' en cuanto a la interpretación física.
Tal vez alguien presente una respuesta mucho más satisfactoria a esta pregunta que hace que este comentario parezca una tontería, pero si nadie lo hace, tal vez esto sea parte del problema, ya que su sentido de una interpretación física satisfactoria no necesariamente se corresponde con el de los demás.
@Rococo Tal vez tengas razón. Supongo que me conformaría con una explicación clara de cómo esta definición es equivalente a la definición habitual de 'cerrar el contorno de esta manera', y tal vez ese resultado sea suficiente.
Estimado knzhou. Creo que esta es una gran pregunta. Creo que también sé la esencia de la respuesta, desafortunadamente estoy luchando un poco con el ejemplo específico, al que no estoy acostumbrado. Entonces respondí una de sus preguntas relacionadas ( physics.stackexchange.com/questions/384126/… ). Espero que ayude, aunque lamentablemente no hay recompensa para mí ;-)

Respuestas (2)

Me has motivado a leer el buen desarrollo de Mukhanov y pensar un poco sobre este tema. Así es como lo racionalicé para mí mismo:

Primero, ¿cómo es esto equivalente a la definición habitual del propagador de Feynman, que involucra una elección de contorno particular?

Creo que debería considerar la definición fundamental del propagador de Feynman no como un propagador con una elección de contorno particular, sino como un propagador que es simétrico bajo el intercambio de coordenadas de espacio-tiempo. En este contexto de dimensión cero, eso significa intercambio de t y t ′ . En lenguaje QFT esto conduce a una estructura como:

− i ⟨ 0 | Θ ( t − t ′ ) ψ ( t ) ψ ( t ′ ) + Θ ( t ′ − t ) ψ ( t ′ ) ψ ( t ) | 0 ⟩
Mientras que en el caso del oscilador accionado la forma es:
i 2 ω ( mi − i ω ( t − t ′ ) Θ ( t − t ′ ) + mi − i ω ( t ′ − t ) Θ ( t ′ − t ) )

En cualquier caso, puedes transformar esto con Fourier y obtener algo con un polo arriba y un polo debajo del complejo. ω plano, de las dos funciones de Heaviside. Pero como se supone que estamos buscando una intuición física, sugiero que pienses en esto como una consecuencia de exigir que el propagador sea simétrico bajo el cambio de tiempos.

En segundo lugar, ¿hay palabras intuitivas que uno pueda envolver en torno a esta definición? ¿Proporciona alguna percepción física adicional?

En cuanto a la interpretación física, creo que tendrá que aceptar que la interpretación no será tan sencilla en el caso del propagador de Feynman como lo es para el propagador retardado. Su pregunta ya establece por qué este es el caso: uno es un valor esperado, que es algo que aparece clásicamente y que tenemos una sensación natural, mientras que el otro es un elemento de matriz fuera de la diagonal. La buena noticia es que, en este punto de nuestro estudio de la mecánica cuántica, ambos hemos visto suficientes para tener una idea de lo que significan. Por ejemplo, una amplitud de la forma ⟨ 0 o tu t | q ^ | 0 i norte ⟩ es bien conocido en física atómica como el operador dipolar . En términos generales, representa el grado en que los estados | 0 o tu t ⟩ y | 0 i norte ⟩ son acoplados por el operador j q ^ . Resumiendo, entonces, la mejor interpretación que puedo ofrecer para el propagador de Feynman en esta situación es que es el objeto el que le dice, para una corriente transitoria dada, la medida en que el estado de salida resultante está acoplado al estado inicial . Por lo tanto, es una forma particular, y de gran importancia desde el punto de vista del cálculo, de caracterizar cuánto cambiaron los estados por la fuerza impulsora. Dado que no es en sí mismo un observable, no me queda claro si debería existir una descripción más intuitiva o qué podría implicar.

la analogía con el operador dipolo es agradable

Puede intentar leer el Capítulo 3 del agradable libro introductorio de Robert Klauber sobre QFT. Este capítulo se puede descargar gratis en http://www.quantumfieldtheory.info/ . Su perspectiva es que el propagador de Feynman "puede visualizarse como la representación de una partícula virtual que existe fugazmente y transporta energía, momento y, en algunos casos, carga de una partícula real a otra. Por lo tanto, es el portador o mediador de la fuerza". (interacción.)". El tránsito de tal partícula virtual de x a y y el tránsito de una antipartícula virtual de y a x deben tenerse en cuenta al resumir todas las formas posibles en que dos partículas físicas pueden interactuar. Esto es exactamente lo que hace el propagador de Feynman.

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