¿Por qué la función de Green divergerá en el mismo punto del espacio-tiempo?

Question

¿Por qué la función de Green divergerá en el mismo punto del espacio-tiempo?

Física
propagador
singularidades
greens-funciones
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos

346699

En $d+1$ teoría del campo cuántico dimensional, la función de Green de 2 puntos divergerá en el mismo punto del espacio-tiempo cuando $d\geq1$ .

Cuando $d=0$ , $\phi(t)=q(t)$ , ese es el caso de QM, y la función de Green de 2 puntos en el mismo punto del espacio-tiempo $\langle\Omega|T(q(t)q(t))|\Omega\rangle$ está bien definido.

Mientras $d \geq1$ , la función de Green de 2 puntos en el mismo punto del espacio-tiempo $\langle\Omega|T(\phi(x)\phi(x))|\Omega\rangle$ divergirá.

Entonces, ¿cuál es la esencia física o matemática de esta divergencia? Especialmente quiero saber la imagen física en la ruta integral. ¿Por qué el caminar al azar de una partícula será diferente al de una cuerda?

danu

Tenga en cuenta que las funciones de Green son realmente distribuciones , que deben integrarse. Una distribución delta Dirac no es tan problemática cuando se integra. Para una excelente explicación, lea el apéndice A de la 'Introducción a los campos cuánticos en los fondos clásicos' de Mukhanov & Winitzki, que está disponible en línea de forma gratuita.

Respuestas (1)

¿Por qué la función de Green divergerá en el mismo punto del espacio-tiempo?

Tenga en cuenta que las funciones de Green son realmente distribuciones , que deben integrarse. Una distribución delta Dirac no es tan problemática cuando se integra. Para una excelente explicación, lea el apéndice A de la 'Introducción a los campos cuánticos en los fondos clásicos' de Mukhanov & Winitzki, que está disponible en línea de forma gratuita.

usuario159249 · Answer 1

La idea simple es la siguiente. A distancias cortas, está probando el régimen de alta energía (UV) de la teoría: es sensible a longitudes de onda muy cortas. Tomemos por ejemplo el bosón libre en la euclidiana:

⟨ ϕ (X) ϕ (0) ⟩ = \int \frac{d^{d} pag}{(2 π)^{d}} \frac{{mi}^{i pag \cdot X}}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} .

$\langle \phi(x) \phi(0) \rangle \; = \int \frac{ d^dp}{(2\pi)^d} \frac{e^{ip\cdot x}}{p^2 + m^2}\,.$ Cuando

| x | > 0

$|x| > 0$ , el factor de oscilación

e^{i p \cdot x}

$e^{ip \cdot x}$ modula la integral, y hay una interferencia esencialmente destructiva cuando

| p | ≳ 1 / | x |

$|p| \gtrsim 1/|x|$ . En otras palabras, no espera que las longitudes de onda

λ \sim 1 / | p | ≪ | x |

$\lambda \sim 1/|p| \ll |x|$ contribuir significativamente. Pero en el límite estricto

x \to 0

$x \to 0$ el factor de oscilación desaparece y la integral restante

\int^{Λ} \frac{d^{d} pag}{(2 π)^{d}} \frac{1}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} \sim Λ^{d - 2}

$\int^\Lambda \frac{ d^dp}{(2\pi)^d} \frac{1}{p^2 + m^2} \sim \Lambda^{d-2}$ es solo una medida del número de modos en general

p

$p$ . Y esta es, por supuesto, la gran diferencia: el número de estados de alta energía en su espacio de Hilbert es sensible a

d

$d$ .

Puede hacer un argumento similar más rigurosamente también para una teoría interactiva, utilizando la representación espectral de Källen-Lehmann (ver, por ejemplo, Peskin-Schroeder).

¿Por qué la función de Green divergerá en el mismo punto del espacio-tiempo?

346699

danu

Respuestas (1)

usuario159249

Dos definiciones de la función de Green

Relación entre las ecuaciones de Dyson de diferentes problemas

¿Cuál es el significado del propagador de Feynman para el oscilador armónico cuántico impulsado?

¿Cómo encontrar las funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon no homogénea dependiente del tiempo?

Intuición para propagadores de espín 1/2 y 1

¿Qué significa realmente calcular cosas a nivel de árbol?

Cálculo de la función de Green de la teoría de campos interactivos

¿Cómo interpretar las funciones de correlación en QFT?

difusión de partículas libres Función verde

¿Cómo es exactamente el propagador una función de Green para la ecuación de Schrödinger?