¿Cómo encontrar las funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon no homogénea dependiente del tiempo?

Question

¿Cómo encontrar las funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon no homogénea dependiente del tiempo?

Física
greens-funciones
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Preludio

Estoy tratando de encontrar las funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon no homogénea dependiente del tiempo, que es:

\begin{aligned} ‎ ‎ [- ‎ ‎ \nabla ‎^{2} + ‎ ‎ ‎ ‎ \frac{1}{C^{2}} ‎ ‎ \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} + ‎ ‎ ‎ ‎ k ‎^{2} ‎ ‎] ‎ ‎ ψ (‎ ‎ r, t) ‎ = ‎ ‎ ‎ ‎ ρ ‎ (‎ r, t ‎) ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎‎ \left[ -‎ ‎\nabla ‎^2 + ‎‎‎‎\frac{1}{c^2} ‎‎\dfrac{\partial ^2}{\partial t^2} +‎ ‎‎‎\kappa ‎^2 ‎‎\right] ‎‎\psi(‎{‎\mathbf{r},t )}‎ = ‎‎‎‎\rho‎(‎\mathbf{r},t‎)‎ \end{align*}$

Se ha mencionado en la pregunta que puedo encontrar las funciones de Green:

\begin{aligned} ‎ ‎ ‎ & {GRAMO}_{R} (‎ r, t, ‎ r^{'}, t^{'}) = ‎ \frac{C}{8 π^{2} ‎ R i} ‎ \frac{d}{d ‎ R} ‎ \int_{- ‎ \infty ‎}^{+ ‎ \infty ‎} ‎ ‎ \frac{{mi}^{i ‎ \frac{R}{C} ‎ ‎ \sqrt{q^{2} - k^{2} C^{2}} ‎ ‎}}{‎ \sqrt{q^{2} - k^{2} C^{2}} ‎} ‎ {mi}^{- i q (t - t^{'})} ‎ d q ‎ \\ ‎ & {GRAMO}_{A} (‎ r, t, ‎ r^{'}, t^{'}) = ‎ - \frac{C}{8 π^{2} ‎ R i} ‎ \frac{d}{d ‎ R} ‎ \int_{- ‎ \infty ‎}^{+ ‎ \infty ‎} ‎ ‎ \frac{{mi}^{- i ‎ \frac{R}{C} ‎ ‎ \sqrt{q^{2} - k^{2} C^{2}} ‎ ‎}}{‎ \sqrt{q^{2} - k^{2} C^{2}} ‎} ‎ {mi}^{- i q (t - t^{'})} ‎ d q ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎ ‎‎&G_R(‎\mathbf{r} , t , ‎\mathbf{r'} , t') = ‎\dfrac{c}{8 \pi ^2 ‎\mathbf{R} i }‎\dfrac{d}{d‎\mathbf{R}} ‎\int_{- ‎\infty‎}^{+‎\infty‎} ‎‎\dfrac{e^{ i ‎\frac{R}{c} ‎‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎‎}}{‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎} ‎e^{ - iq (t - t')} ‎dq‎ \\‎ &G_A(‎\mathbf{r} , t , ‎\mathbf{r'} , t') = ‎-\dfrac{c}{8 \pi ^2 ‎\mathbf{R} i }‎\dfrac{d}{d‎\mathbf{R}} ‎\int_{- ‎\infty‎}^{+‎\infty‎} ‎‎\dfrac{e^{- i ‎\frac{R}{c} ‎‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎‎}}{‎\sqrt{q^2 - k^2 c^2}‎} ‎e^{ - iq (t - t')} ‎dq‎ \end{align*}$ ‎ usando la transformada de Fourier, pero cuando uso la transformada de Fourier no obtengo la respuesta adecuada. La transformada de Fourier que uso es la que generalmente se da como: ‎

\begin{aligned} ‎ ‎ F (r) = ‎ \frac{1}{‎ \sqrt{2 π} ‎} ‎ \int_{- \infty}^{\infty} ‎ {mi}^{i k . r} ‎ \hat{F} ‎ (k) ‎ d k ‎ ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎ ‎f(r) = ‎\dfrac{1}{‎\sqrt{2 \pi}‎} ‎\int_{- \infty}^{\infty} ‎e^{ik.r}‎\hat{f}‎(k) ‎dk ‎‎ \end{align*}$ pero de esta transformación no puedo encontrar

G_{A}

$G_A$ y

G_{R}

$G_R$ .

¿Hay otra transformación que debería usar para encontrar las funciones de Green?

Editar la función de The Green con la que termino es:

\begin{aligned} ‎ ‎ {GRAMO}_{A} (‎ r, t, ‎ r^{'}, t^{'}) ‎ = ‎ ‎ ‎ ‎ \frac{1}{(2 π)^{4}} ‎ \int ‎ d^{3} k ‎ d k^{'} ‎ ‎ \frac{1}{k^{2}} ‎ {mi}^{i k . (‎ r - ‎ r^{'} ‎ ‎)} {mi}^{i k^{'} (t - t^{'})} ‎ \end{aligned}

$\begin{align*}‎‎ G_A(‎\mathbf{r} , t , ‎\mathbf{r'} , t')‎ = ‎‎‎‎\dfrac{1}{(2\pi)^4} ‎\int ‎d^3\mathbf{k} ‎dk' ‎‎\frac{1}{k^2} ‎e^{i\mathbf{k}.(‎\mathbf{r} - ‎\mathbf{r'}‎‎)}e^{ik'(t-t')}‎ \end{align*}$ ¡que ni siquiera es similar a la respuesta dada aquí!

willie wong

A primera vista, las funciones avanzadas y retardadas parecen bastante correctas. ¿Cuál es el resultado de su cálculo? Y tal vez mostrar el trabajo nos permita identificar dónde está el problema.

Preludio

Agregué mi respuesta final a la pregunta.

willie wong

lo que anotaste no depende de la masa

κ

$\kappa$ , por lo que definitivamente no está bien. Creo que lo que te estás perdiendo es que después de tomar la transformada de Fourier en el espacio-tiempo, deberías intentar resolver la ecuación.

(| k |^{2} - \frac{τ^{2}}{C^{2}} + k^{2}) \hat{ψ} (k, τ) = 0

$( |\mathbf{k}|^2 -\frac{\tau^2}{c^2} + \kappa^2)\hat\psi(\mathbf{k},\tau) = 0$ Me parece que simplemente olvidaste que el término de masa debe tenerse en cuenta. Además: ten cuidado con tu

κ

$\kappa$ y

k

$k$ ! ¡Son dos letras diferentes!

Respuestas (1)

¿Cómo encontrar las funciones de Green para la ecuación de Klein-Gordon no homogénea dependiente del tiempo?

A primera vista, las funciones avanzadas y retardadas parecen bastante correctas. ¿Cuál es el resultado de su cálculo? Y tal vez mostrar el trabajo nos permita identificar dónde está el problema.
lo que anotaste no depende de la masa $\kappa$ , por lo que definitivamente no está bien. Creo que lo que te estás perdiendo es que después de tomar la transformada de Fourier en el espacio-tiempo, deberías intentar resolver la ecuación. $(| k |^{2} - \frac{τ^{2}}{C^{2}} + k^{2}) \hat{ψ} (k, τ) = 0$ $( |\mathbf{k}|^2 -\frac{\tau^2}{c^2} + \kappa^2)\hat\psi(\mathbf{k},\tau) = 0$ Me parece que simplemente olvidaste que el término de masa debe tenerse en cuenta. Además: ten cuidado con tu $\kappa$ y $k$ ! ¡Son dos letras diferentes!

Erich · Answer 1

Intentaré señalar cosas que me parecen que no están bien.

Estás confundiendo entre $k$ y $\kappa$ .
No hay problema con su convención para la transformada de Fourier. Es solo un poco poco convencional en este tipo de problema (basado en los libros que usé)
¡Hay que integrarse! Tenga en cuenta que la integral que encontró tiene $d^3{\bf k} dk'$ debes resolverlo. El camino común es integrar primero $k'$ , luego ponga la integral en coordenadas esféricas y resuelva los ángulos. Al final resuelve la integral radial.

¿Has intentado primero resolver el $\kappa=0$ ¿caso? Si no, deberías hacer eso.

No reproduciré aquí lo que se dice en algunos libros, sino que les dejaré algunas fuentes:

Creo que la mejor referencia es el libro de Hassani sobre física matemática (Sec. 22.4.4), las cosas están más claras allí. El problema es que no resuelve el $\kappa \neq 0$ caso.
Otra gran referencia (y que resuelve su problema) es el libro Green's Function on Quantum Mechanics Sec.2.2 de Eleftherios Economou (consulte la página 31, eq 2.63 para su caso específico).
Otras referencias son Bogoliubov Shirkov &15 (que es canónico pero un poco confuso, en mi opinión) y
Morse Feshbach Capítulo 7.

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