¿Cómo interpretar las funciones de correlación en QFT?

Sí, en la teoría de campos escalares,$\langle 0 | T\{\phi(y) \phi(x)\} | 0 \rangle$es la amplitud para que una partícula se propague desde$x$a$y$. Hay advertencias a esto, porque no todos los QFT admiten interpretaciones de partículas, pero para campos escalares masivos con interacciones moderadamente fuertes, es correcto. Aplicando el operador$\phi({\bf x},t)$al vacío$|0\rangle$pone el QFT en el estado$|\delta_{\bf x},t \rangle$, donde hay una sola partícula cuya función de onda en el tiempo$t$es la función delta soportada en${\bf x}$. Si$x$llega más tarde que$y$, el número$\langle 0 | \phi({\bf x},t)\phi({\bf y},t') | 0 \rangle$es solo el producto interno de$| \delta_{\bf x},t \rangle$con$| \delta_{\bf y},t' \rangle$.

Sin embargo, la función$f(x,y) = \langle 0 | T\{\phi(y) \phi(x)\} | 0 \rangle$no es en realidad una función de correlación en el sentido estadístico estándar. no puede ser; ni siquiera tiene un valor real. Sin embargo, es un primo cercano de una función de correlación honesta con la bondad.

Si haces la sustitución$t=-i\tau$, cambiarás la acción

$$iS = i\int dtd{\bf x} \{\phi(x)\Box\phi(x) - V(\phi(x))\}$$ de la teoría del campo escalar en $\mathbb{R}^{d,1}$en una función de energía $$-E(\phi) = -\int d\tau d{\bf x} \{\phi(x)\Delta\phi(x) + V(\phi(x))\}$$ que se define en campos escalares que viven en $\mathbb{R}^{d+1}$. Asimismo, la integral de Feynman oscilante $\int \mathcal{D}\phi e^{iS(\phi)}$se convierte en una medida de Gibbs $\int \mathcal{D}\phi e^{-E(\phi)}$.

La medida de Gibbs es una medida de probabilidad en el conjunto de campos escalares clásicos en$\mathbb{R}^{d+1}$. Tiene funciones de correlación.$g(({\bf x}, \tau),({\bf y},\tau')) = E[\phi({\bf x}, \tau)\phi({\bf y},\tau')]$. Estas funciones de correlación tienen la propiedad de que pueden continuarse analíticamente hasta valores complejos de$\tau$teniendo la forma$\tau = e^{i\theta}t$con$\theta \in [0,\pi/2]$. si tomamos$\tau$en la medida de lo posible, igualándolo a$i t$, obtenemos las "funciones de correlación" con la firma de Minkowski$f(x,y) = g(({\bf x},it),({\bf y},it'))$.

Entonces$f$no es realmente una función de correlación, pero es el valor límite de la continuación analítica de una función de correlación. Pero eso lleva mucho tiempo decirlo, por lo que se abusa de la terminología.

No,$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩$NO es la amplitud de probabilidad de que una partícula se propague desde$x$a$y$, incluso para un campo escalar libre. Parece ser una falsa creencia común que lo es. Hay una razón obvia y una razón profunda por la que no puede ser.

La razón obvia es que el cuadrado de este valor, que se supone que es la densidad de probabilidad, no se integra a 1 (ver wikipedia ):

$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩=$

$$G_F(x,y) =\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4p\frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-m^2+i\epsilon} =\begin{cases} -\frac{1}{4\pi}\delta(s)+\frac{m}{8\pi\sqrt{s}}H_1^{(1)}(m\sqrt{s}) & s\ge 0\\ -\frac{im}{4\pi^2\sqrt{-s}}K_1(m\sqrt{-s}) & s<0 \end{cases}$$ dónde$s:=(x^0-y^0)^2-(\vec{x}-\vec{y})^2$, por eso$\int dy_1 dy_2 dy_3\,|⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩|^2$es infinito (si tiene algún sentido). La interpretación como una 'amplitud de probabilidad relativa' no soluciona eso porque la mayor parte de la 'probabilidad de propagarse desde$x$a$y$' estaría de todos modos concentrado en el cono$s=0$debido a$\delta(s)$-término.

Una razón más profunda es que la 'probabilidad' no tiene ningún sentido hasta que se introduce un espacio de probabilidad , es decir, el conjunto de posibles resultados de un experimento. Lo mínimo que debemos suponer es que estos resultados son mutuamente excluyentes . En la mecánica cuántica no relativista, este conjunto es una base ortonormal en un espacio de Hilbert (o un objeto un poco más general, como el conjunto de funciones delta admitidas en diferentes puntos espaciales$\mathbf{y}$). Luego, el producto interno con los elementos básicos se interpreta como la densidad de probabilidad de transición. Pero para el campo cuántico libre, las funciones delta se admiten en diferentes puntos espaciales$\mathbf{y}$y al mismo tiempo$t$ya no son ortogonales (en ningún sentido):$⟨0|T{ϕ(\mathbf{y},t)ϕ(\mathbf{x},t)}|0⟩\ne 0$por la expresión anterior. En otras palabras, uno puede encontrar la partícula en diferentes puntos simultáneamente, haciendo simplemente imposible hablar de la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto. Por tanto, el producto interior de$|δ_x,t⟩$con$|δ_y,t'⟩$ no puede interpretarse como densidad de probabilidad (dejando de lado la pregunta de qué significa esta notación en el espacio de Fock), todo lo contrario a la respuesta del usuario1504.

Finalmente, no se puede introducir ningún experimento para medir la cantidad bajo el nombre de 'la probabilidad de que una partícula libre se propague desde$x$a$y$', porque la precisión de la medición de las coordenadas de la partícula no puede ser mejor que la longitud de onda Compton de la partícula.

Cuidado: no tener absolutamente ninguna comprensión del campo cuántico libre, escribir solo para tener la oportunidad de ser corregido por aquellos que sí la tienen. En particular, estaría agradecido por la explicación de lo que es el significado de$⟨0|T{ϕ(y)ϕ(x)}|0⟩$, si no es una amplitud de probabilidad. Estar atrapado con esta pregunta durante bastante tiempo.