Dos definiciones de la función de Green

Primero, el término "propagador" generalmente se define como la función de Green del primer tipo, no del segundo tipo, es decir, como una solución a la ecuación diferencial$\hat L G = \delta$.

En cualquier caso, esas definiciones son en última instancia equivalentes, cuando los detalles se escriben correctamente, porque la función de Green definida como el correlador en la segunda definición obedece a la primera ecuación diferencial.

El operador diferencial$\hat L$es lo que aparece en las ecuaciones de movimiento linealizadas para el campo, en este caso$\psi(x_1,t_1)$, y sólo actúa sobre$\psi(x_1,t_1)$, no$\psi^\dagger (x_2,t_2)$.

El operador de ordenamiento temporal$T$puede escribirse en términos de la función escalón

Por la regla de Leibniz, existen los términos con$\hat L \psi = 0$. Se desvanece por las ecuaciones de movimiento. Pero hay términos adicionales donde$\hat L$actúa sobre las funciones escalonadas.

El operador$\hat L$contiene el término que diferencia con respecto a$t_1$multiplicado por un coeficiente$C$. esto se convierte$\theta(t_1-t_2)$a$\delta(t_1-t_2)$. Lo mismo ocurre en el término siguiente, pero con el signo opuesto que cancela el signo que ya estaba allí. Así que los términos adicionales son

Por eso la acción de$\hat L$en el correlacionador termina siendo$CD\delta(t_1-t_2)\delta(x_1-x_2)$donde las constantes$C,D$en su mayoría son solo factores de$i$etc.

Para campos bosónicos,$\hat L$tiene la segunda derivada con respecto al tiempo. Uno de los derivados tiene el destino de arriba, el otro convierte al otro$\phi$, que desempeña el papel de$\psi^\dagger$, dentro$\partial_t \phi$que es el momento canónico, y es la variable correcta la que tiene el$\delta$-conmutador similar a una función. Además, el signo intermedio es el opuesto pero el resultado es el mismo, algunos$CD\cdot\delta\cdot\delta$.

Si conecta el propagador en la ecuación de movimiento obtendrá un$\delta$función. La segunda "definición" es solo una receta para calcular la función de Green en una teoría de campo libre.

Otra forma de encontrar una equivalencia es expresar la función de Green a través de las soluciones de la ecuación: escriba su representación espectral:

también se puede utilizar la ecuación G =i*propagador de particula libre Delta sub f) Según la ecuación de evolución del sistema físico en cuestión, su propagador de partículas libres tendrá su forma particular (campo escalar, fermiónico, fotónico, etc.)