Cálculo de la función de Green de la teoría de campos interactivos

La funcional generatriz, como siempre, viene dada por

$$Z[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \int \mathcal{D}\phi \mathcal{D} \psi \mathcal{D} \psi^{\dagger} \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \left( \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) +J\phi + \eta^{\dagger}\psi + \psi^{\dagger}\eta\right)\right] =$$ $$\exp \left[ -\frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \frac{\delta}{\delta J} \frac{\delta}{\delta \eta} \frac{\delta}{\delta \eta^{\dagger}} \right] \; Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}],$$

dónde$Z_0$es el funcional generador de la teoría libre:

$$Z_0[J, \eta, \eta^{\dagger}] = \hbar \int d^4 x \, \int d^4 y \, \left( \frac{1}{2} J(x) \Delta_M(x, y) J(y) + \eta^{\dagger}(x) \Delta_m(x, y) \eta(y) \right)$$

con$\Delta_m$el propagador de Klein-Gordon con masa$m$.

Su fórmula para las correlaciones (también conocidas como funciones de Green de la teoría de interacción) es correcta. Tienes que adaptar la expansión exponencial del término que interactúa al orden apropiado en la teoría de la perturbación.

Simplemente haga los cálculos y llegará a las expresiones correctas para las funciones de correlación. Alerta de spoiler: el segundo desaparece.

Por cierto, no necesita escribir explícitamente el funcional generador para calcular las correlaciones. Hay una manera más simple: primero, tenga en cuenta que puede calcular expresiones como

$$\left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right>_0 = \mathcal{N}_0 \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}_0(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}]$$

dónde$F$es polinomial en cuerpos con ayuda del teorema de Wick. También tenga en cuenta la interpretación esquemática de los términos en la expansión Wick.

Luego define

$$\left< F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] \right> = \mathcal{N} \int\mathcal{D}\phi \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\psi^{\dagger} \exp\left[ \frac{i}{\hbar} \int d^4 x \, \mathcal{L}(\phi, \psi, \psi^{\dagger}) \right] \cdot F[\phi, \psi, \psi^{\dagger}] =$$ $$\frac{\mathcal{N}}{\mathcal{N}_0} \left< F \cdot \exp \left[ - \frac{i g}{\hbar} \int d^4 x \, \phi \psi^{\dagger} \psi \right] \right>_0.$$

y Adaptar: expandir la exponencial del término que interactúa a cualquier orden (dado por adelantado). Llegarás a la expresión del polinomio (porque ambos$F$y la serie Tailor truncada son polinomios en$\phi$,$\psi$y$\psi^{\dagger}$). Ya sabemos cómo calcularlos:

El paréntesis de expectativas, para cada orden de la serie perturbativa, está dado por una suma de términos. Cada término se puede representar gráficamente como un diagrama de Feynman.

Los corchetes de expectativas están, por definición, normalizados de tal manera que

$$\left<1\right>_0 = \left<1\right> = 1,$$

Lo que significa que$\mathcal{N}_0$y$\mathcal{N}$están relacionados entre sí. Hay un resultado muy genérico, que es: la proporción$\mathcal{N} / \mathcal{N_0}$corresponde al producto de todos los gráficos de burbujas (los que no tienen patas externas). Estos se factorizan muy bien, brindando una forma conveniente de calcular las correlaciones:

La normalización adecuada se puede explicar simplemente ignorando los gráficos con burbujas desconectadas.