¿Qué significa realmente calcular cosas a nivel de árbol?

Supongamos que desea calcular una correlación, digamos en la firma euclidiana

$$\frac{1}{Z}\int D\phi\ \prod_i \phi(x_i)\ \exp\left(-\frac{1}{\hbar}S(\phi)\right)$$ con $$S(\phi)=\frac{1}{2}(\phi,A\phi)+g\int dx\ \phi(x)^4$$ dónde $(\phi,A\phi)=\int\ dx\ dy\ \phi(x)A(x,y)\phi(y)$por alguna "matriz" o mejor dicho kernel $A$. Normalmente se hace eso expandiendo la integral funcional como $$\int D\phi\ \prod_i \phi(x_i)\ \exp\left(-\frac{1}{\hbar}S(\phi)\right)= \sum_{N=0}^{\infty} \int D\phi\ e^{-\frac{1}{2}(\phi,\frac{1}{\hbar}A\phi)} \prod_i \phi(x_i)\ \times \left(-\frac{g}{\hbar}\int dx\ \phi(x)^4\right)^N$$ y usando el teorema de Isserlis-Wick. Las contracciones involucran la covarianza o la inversa del operador en la parte cuadrática libre $$C=\left(\frac{1}{\hbar}A\right)^{-1}=\hbar \times A^{-1}\ .$$ Así que cuando cuentas potencias de $\hbar$usted obtiene $\hbar^{E-V}$dónde $E$es el número de aristas y $V$es el número de vértices internos. Para un gráfico conexo (en el caso de un diagrama de vacío por simplicidad) se tiene la relación de tipo Euler-Poincaré $$E-V=L-1$$ dónde $L$es el número de bucles independientes. Entonces el poder de $\hbar$lo que aparece es $\hbar^{L-1}$que por lo tanto cuenta bucles. El orden más bajo es cuando $L=0$y $E=V-1$, es decir, cuando el grafo es un árbol.

En principio, en QFT desea calcular el operador de evolución temporal unitaria de la imagen de interacción. Luego puede usar el operador para evolucionar estados cuánticos tal como lo haría en la mecánica cuántica normal. Entonces, por ejemplo, suponga que configura su acelerador de partículas para generar un cierto estado$|i\rangle$a la vez$t_0$, y luego de un tiempo$t_1 - t_0$ha pasado quiere saber la probabilidad de que haya evolucionado a un estado$|f\rangle$, calculas la amplitud de probabilidad:

$$\langle f|U(t_1,t_0)|i \rangle$$

La expresión para$U(t_1,t_0)$viene dada por la fórmula de Dyson:

$$U(t_1,t_0) = \mathcal{T}\left\{\exp\left(-i\int_{t_0}^{t_1}H_{\mathrm{int}}(t) \mathrm{d}t\right)\right\}$$

donde el$\mathcal{T}$representa el orden del tiempo y la expansión de la exponencial viene dada por una serie de Dyson, la$n$cuyo término tiene la forma:

$$U_{n}(t_1,t_0) = (-i)^{n}\int_{t_0}^{t_1}dt\int_{t_0}^{t}dt'\int_{t_0}^{t'}dt'' \cdots\int_{t_0}^{t^{(n-1)}}dt^{(n)}\mathcal{T}\left\{H_{\mathrm{int}}(t)H_{\mathrm{int}}(t') \cdots H_{\mathrm{int}}(t^{(n)})\right\}$$

Normalmente, el hamiltoniano tiene una constante de acoplamiento al frente, por lo que la serie de Dyson se convierte en una expansión de potencias de esa constante de acoplamiento (cuya potencia es igual al número de vértices en el diagrama de Feynman correspondiente). Realmente no sé qué quiere decir con poderes de$\hbar$.

Por lo general, la integral anterior es imposible de calcular de forma independiente como lo haría en QM normal, pero podemos usar un poco de magia llamada fórmula de reducción LSZ para escribir una amplitud de probabilidad como:

$$\langle f|U(-\infty,\infty)|i \rangle \sim \langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\cdots\phi(x^{(b)})\phi(y)\cdots\phi(y^{(b')})\ U(-\infty,\infty)\right\}|0 \rangle$$

dónde$|0\rangle$es el estado de vacío de la teoría libre,$\phi$son los campos y tienes uno para cada partícula en el estado inicial (etiquetado con$x$) y uno para cada uno en el estado final (etiquetado con$y$). He omitido algunas integrales y constantes a las que eventualmente llegará pero que no son importantes para esta descripción general de alto nivel. Tenga en cuenta que esto sólo se cumple en el$\pm\infty$límite de tiempo, que se denomina "límite adiabático".

Una vez que tenga esto, puede sustituirlo en su$n$Término de orden para$U$y obtener el$n$aproximación de orden th para su amplitud de probabilidad. Recuerda que el$H_{\mathrm{int}}$son típicamente productos de campos en sí mismos, por lo que la sustitución solo da un producto más grande de campos ordenados en el tiempo (he etiquetado los campos de los términos de interacción con$z$):

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\cdots\phi(x^{(b)})\phi(y)\cdots\phi(y^{(b')})\phi(z)\cdots\phi(z^{(b'')})\right\}|0 \rangle$$

Luego, usa un poco de matemática técnica llamada Teorema de Wick para mostrar que esto se reduce a un producto de las funciones de Green de dos puntos (también conocidas como propagadores):

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi\phi\right\}|0 \rangle\cdots$$

Ahora, obviamente hay más de una forma de emparejar el$b+b'+b''$campos que tiene en las funciones de Green, razón por la cual tiene múltiples diagramas de Feynman para cada orden en la constante de acoplamiento. Cada una de estas funciones de Green en el producto corresponde a una línea en un diagrama de Feynman, y cada forma de emparejar los campos corresponde a un diagrama diferente (hasta factores de simetría, etc.). Los bucles son cuando obtienes las funciones de Green donde ambos campos están en el mismo punto de espacio-tiempo:

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(z)\phi(z)\right\}|0 \rangle$$

porque obviamente obtienes una línea desde un punto hasta sí mismo -- un bucle. Esto da como resultado un impulso sin restricciones porque una función de Green típica tiene la forma:

$$\langle 0|\mathcal{T}\left\{\phi(x)\phi(y)\right\}|0 \rangle = \int \mathrm{d}^{3}p\ \frac{i}{p^2 - m^2}e^{-ip(x-y)}$$

Luego, el exponencial se reduce a una función delta cuando integra sobre la posición, lo que le permite integrar fácilmente sobre el impulso para seleccionar esencialmente el impulso que desea (esto proviene de una de las integrales que omití anteriormente). Pero si$x=y$luego, la exponencial se reduce a 1, lo que significa que su impulso no está restringido y, en general, esto también deja la integral divergente. Esta es la raíz de las divergencias ultravioleta en QFT, y usamos la regularización para volver a normalizar ciertas constantes (como la masa) y absorber los infinitos en cantidades inconmensurables.

Editar: Veo que dices que estás leyendo P&S además de Schwartz. No conozco el libro de Schwartz en absoluto, pero en P&S derivan la fórmula de reducción LSZ para campos escalares en el Capítulo 7. Es bastante instructivo leerlo porque te da una mejor apreciación de la forma de las reglas de Feynman.

A pesar de$\hbar$es una constante física fundamental (y puede establecerla en 1 si lo desea), todavía tiene sentido hablar sobre la mecánica cuántica en el límite$\hbar \to 0$. Físicamente, esto significa que la escala de longitud típica del sistema es mucho mayor que la longitud de onda de De Broglie de todas las partículas, por lo que al final lo que se obtiene es mecánica clásica con algunas correcciones adicionales, que llamamos semiclásica. Considerando$\hbar$una variable, enviando$\hbar \to 0$, y expandir es solo una forma matemática conveniente de hablar sobre este límite.

Sin embargo, como han señalado otros, las expansiones del diagrama de Feynman en realidad se realizan con respecto al parámetro de acoplamiento, el factor que multiplica el término de interacción en el hamiltoniano. La expansión en$\hbar$es diferente, y en realidad es la aproximación WKB. Debe tener cuidado al interpretar esta oración del libro de Schwartz. Aunque los desarrollos son diferentes, en el caso de que el acoplamiento sea cero, tenemos una teoría libre, donde la aproximación WKB es exacta.

Debido a esto, en realidad es el término de acoplamiento el que introduce errores en WKB, por lo que también puede pensar en el cálculo usando diagramas de Feynman en un orden dado como una corrección semiclásica.

Físicamente, los diagramas de nivel de árbol son aproximaciones que no consideran la autointeracción. Por ejemplo, si tiene un campo eléctrico que actúa sobre un electrón, descartar la autointeracción sería escribir la fuerza de Lorentz y calcular su trayectoria usando la ecuación de movimiento. Esta es una aproximación porque el electrón también tiene un campo eléctrico y siente su efecto cuando se mueve. Las integrales de bucle son la forma de expresar estos efectos de autointeracción en QFT perturbativo.