difusión de partículas libres Función verde

El problema es que estás usando un estado propio de posición como tu estado inicial. Si usa un estado con ancho ajustable finito, puede ver lo que está sucediendo. Ejemplos para probar:

$$\begin{align} \Psi(\mathbf{x},0) & = \frac{1}{\left(s \sqrt{2\pi}\right)^{d/2}} \operatorname{e}^{-\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)^2 }{ 4s^2} + i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}, \ \mathrm{or}\\ & = \prod_{n=1}^d \frac{2 \sin\left(\frac{k_w (x_n-x_0)}{2}\right)}{k_w (x_n-x_0)} \operatorname{e}^{i k_n (x_n- x_0)}\sqrt{\frac{k_w}{2\pi}}, \end{align}$$ dónde $d$es el número de dimensiones espaciales. Las versiones de espacio de impulso (transformadas de Fourier) de estos son: $$\begin{align}\Psi(\mathbf{p},0) & = \left(s\sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)^{d/2}\operatorname{e}^{i \frac{(\hbar \mathbf{k} - \mathbf{p})\cdot\mathbf{x}_0}{\hbar} - \frac{s^2}{\hbar^2} \left(\mathbf{p} - \hbar\mathbf{k}\right)^2},\ \mathrm{and} \\ & = \prod_{n=1}^d \frac{\operatorname{e}^{-ik_n x_0}}{\sqrt{\hbar k_w}} \Theta\left(\frac{p_n}{\hbar} - k_n + \frac{k_w}{2}\right) \Theta\left(k_n + \frac{k_w}{2} - \frac{p_n}{\hbar}\right).\end{align}$$ Fíjate cómo a medida que $\mathbf{x}$-los anchos de espacio van a $0$( $s\rightarrow 0$o $k_w \rightarrow \infty$) el $\mathbf{p}$-los anchos de espacio se comportan de manera opuesta. Entonces, la razón por la que obtiene un estado plano y no normalizable no es solo porque $\delta$Las funciones no son integrables al cuadrado, sino también porque la función de onda de momento tiene probabilidades iguales de todos los momentos, incluido el infinito. Así que no sorprende cuando el estado cambia instantáneamente a uno que tiene la misma probabilidad en todas las posiciones.