Relación entre las ecuaciones de Dyson de diferentes problemas

Question

Relación entre las ecuaciones de Dyson de diferentes problemas

Descubrimiento

Recientemente, noté que la ecuación de Dyson

GRAMO = {GRAMO}_{0} + {GRAMO}_{0} Σ GRAMO

$G=G_0+G_0\Sigma G$ se utiliza no solo en la teoría cuántica de campos, sino también en otras ramas de la física. Por ejemplo:

1. Ecuación de onda

De la ecuación de onda en un medio aleatorio

L GRAMO (X, X_{0}) \equiv [Δ_{X} + k^{2} (1 + ϵ (X))] GRAMO (X, X_{0}) = d (X - X_{0})

$\mathcal{L}G(x,x_0)\equiv \left[\Delta_x+k^2 (1+\epsilon(x))\right]G(x,x_0)=\delta(x-x_0)$ y

L_{0} {GRAMO}_{0} (X, X_{0}) \equiv [Δ_{X} + k^{2}] {GRAMO}_{0} (X, X_{0}) = d (X - X_{0})

$\mathcal{L}_0G_0(x,x_0)\equiv\left[\Delta_x+k^2 \right]G_0(x,x_0)=\delta(x-x_0)$ , obtenemos

L_{0} GRAMO (X, X_{0}) = - k^{2} ϵ (X) GRAMO (X, X_{0}) + d (X - X_{0})

$\mathcal{L}_0G(x,x_0)=-k^2\epsilon(x)G(x,x_0)+\delta(x-x_0)$

GRAMO (X, X_{0}) = \int d X_{1} {GRAMO}_{0} (X, X_{1}) L_{0} GRAMO (X_{1}, X_{0}) = {GRAMO}_{0} (X, X_{0}) - \int d X_{1} {GRAMO}_{0} (X, X_{1}) k^{2} ϵ (X_{1}) GRAMO (X_{1}, X_{0})

$G(x,x_0)=\int dx_1\,\,G_0(x,x_1)\mathcal{L}_0G(x_1,x_0)=G_0(x,x_0)-\int dx_1\,G_0(x,x_1)k^2\epsilon(x_1)G(x_1,x_0)$ , que obviamente tiene la forma de la ecuación de Dyson.

2. Propagador de una sola partícula - 1

Dejar $U(t,t_0)$ Sea el operador de evolución temporal. El propagador de partículas individuales

k (X t; X^{'} t^{'}) = ⟨ X | tu (t, t_{0}) | X^{'} ⟩

$K(xt;x't')=\langle x|U(t,t_0)|x'\rangle$ satisface las siguientes ecuaciones:

[i ℏ \partial_{t} - H] k (X t; X^{'} t^{'}) = d (X - X^{'}) d (t - t^{'})

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}\right]K(xt;x't')=\delta(x-x')\delta(t-t')$

[i ℏ \partial_{t} - H_{0}] k_{0} (X t; X^{'} t^{'}) = d (X - X^{'}) d (t - t^{'})

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}_0\right]K_0(xt;x't')=\delta(x-x')\delta(t-t')$ dónde

H = H_{0} + V

$\mathcal{H}=\mathcal{H}_0+V$ . Esas ecuaciones son matemáticamente idénticas a las ecuaciones de onda anteriores, es decir

G \leftrightarrow K, - k^{2} ϵ \leftrightarrow V

$G\leftrightarrow K,\,-k^2\epsilon\leftrightarrow V$ .

3. Propagador de una sola partícula - 2

Uso de la serie Dyson para $U$ en la representación de la interacción,

tu = 1 + \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte!} {(- \frac{i}{ℏ})}^{norte} \int \int \dots T [V (τ_{1}) \dots V (τ_{norte})]

$U=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n\int\int\cdots \mathcal{T}\left[V(\tau_1)\cdots V(\tau_n)\right]$ , también podemos obtener la ecuación de Dyson; estrictamente hablando, podemos obtener la expansión Dyson de

K

$K$ si expandimos la ecuación de Dyson de manera iterativa:

K = K_{0} + K_{0} \sum (K_{0} + K_{0} \sum (\dots))

$K=K_0+K_0\sum(K_0+K_0\sum(\cdots))$ .

4. Función de Green en física de la materia condensada

A temperatura cero, la función verde casual es

i {GRAMO}_{α α^{'}} = \frac{⟨ ψ_{0} | T tu (\infty, - \infty) Ψ_{α} (X, t) Ψ_{α^{'}}^{†} (X^{'}, t^{'}) | ψ_{0} ⟩}{⟨ ψ_{0} | tu (\infty, - \infty) | ψ_{0} ⟩}

$iG_{\alpha \alpha'}=\frac{\langle \psi_0|\mathcal{T}U(\infty,-\infty) \Psi_{\alpha}(x,t)\Psi_{\alpha'}^{\dagger}(x',t')|\psi_0 \rangle}{\langle \psi_0 |U(\infty,-\infty)|\psi_0 \rangle }$ y no es una función de Green de manera matemática, es decir

[i ℏ \partial_{t} - H_{0}] i G_{α α^{'}} \neq δ

$\left[i\hbar\partial_t -\mathcal{H}_0\right] iG_{\alpha \alpha'} \neq \delta$ . De hecho, la función de Green imperturbable

i G_{0, α α^{'}}

$iG_{0,\alpha \alpha'}$ es una función matemática de Green. Uso de la expansión Dyson para

U

$U$ en la imagen de interacción y el teorema de Wick, podemos expresar

i G_{α α^{'}}

$iG_{\alpha \alpha'}$ en términos de

V

$V$ y

i G_{0, α α^{'}}

$iG_{0,\alpha \alpha'}$ . Se sabe que dicha expresión satisface la ecuación de Dyson:

G = G_{0} + G_{0} \sum (G_{0} + G_{0} \sum (\dots))

$G=G_0+G_0\sum(G_0+G_0\sum(\cdots))$ .

Pregunta

Obviamente, el caso 1 y 2 están estrechamente relacionados entre sí. Los casos 3 y 4 tampoco están conectados. Sin embargo, no estoy seguro de si existe una explicación matemática sobre la razón por la cual la expansión de Dyson (casos 3 y 4) conduce al resultado idéntico al álgebra simple (casos 1 y 2).

Creo que el hecho de que la expansión de Dyson no produzca la ecuación de Dyson en sí $G=G_0+G_0\Sigma G$ pero su versión iterativa $G=G_0+G_0\sum(G_0+G_0\sum(\cdots))$ sería una pista; pero no he hecho ningún progreso hasta ahora.

Respuestas (1)

Relación entre las ecuaciones de Dyson de diferentes problemas

SuperCiocia · Answer 1

Funciones de Green y ejemplo 1

En primer lugar, está utilizando el símbolo $G$ y $K$ en 1 y 2 para las funciones de Green .

Así que definamos primero la función de Green como $G(t,u)$ como:

L GRAMO (t, tu) = d (t - tu),

$\mathcal{L}\,G(t,u) = \delta(t-u),$ dónde

L

$\mathcal{L}$ es un operador diferencial lineal que gobierna la evolución del sistema.

La función de Green se utiliza para resolver la dinámica $x(t)$ causado por una fuente $f(u)$ integrando sobre ella:

L X (t) = \int d tu L GRAMO (t, tu) F (tu) = \int d tu d (t - tu) F (tu) = F (t) .

$\mathcal{L}\,x(t) = \int \mathrm{d}u\,\mathcal{L}\,G(t,u)\, f(u) = \int \mathrm{d}u \ \delta(t-u)f(u) = f(t).$

Estos son ampliamente utilizados en la física clásica, como en el ejemplo 1.

Ejemplo 2 y mecánica cuántica

La mecánica cuántica (primera cuantificación) se describe mediante la ecuación de Schrödinger, es decir, solo un operador diferencial lineal $\mathcal{L}$ como arriba De manera similar, entonces, se tiene:

ϕ (X, t_{X}) = \int d y {GRAMO}^{+} (X, t_{X}, y, t_{y}) ϕ (y, t_{y}),

$\phi(x,t_x) = \int \mathrm{d}y\, G^+(x,t_x,y,t_y) \phi(y,t_y),$

donde la función de Green $G^+$ propaga la partícula, descrita por una función de onda $\phi$ , desde la posición $y$ y tiempo $t_y$ a una posición $x$ en el momento $t_x$ . El $+$ señal es para evitar que las partículas viajen atrás en el tiempo, por lo que técnicamente $G^+ = \theta(t_x-t_y)G$ es la función de Green retrasada .

De ahí la conexión entre la función de Green y un propagador en la mecánica cuántica. En general, el propagador $G^+$ puede ser escrito:

{GRAMO}^{+} (X, t_{X}, y, t_{y}) = θ (t_{X} - t_{y}) ⟨ X (t_{X}) | y (t_{y}) ⟩,

$G^+(x,t_x,y,t_y) = \theta(t_x-t_y)\, \langle x(t_x) | y(t_y)\rangle,$ es decir, la amplitud de probabilidad de que una partícula en estado

| y ⟩

$|y\rangle$ en el momento

t_{y}

$t_y$ termina ip en estado

| x ⟩

$|x\rangle$ en el momento

t_{x}

$t_x$ .

El hecho de que el propagador sea distinto de cero para eventos causalmente desconectados, es decir, eventos que están separados como en el espacio, es la falla de la primera cuantificación y la necesidad de una segunda cuantificación (teoría cuántica de campos)

ecuación de Dyson

La función de Green en el dominio de la energía se puede escribir como:

{GRAMO}^{+} (X, y, mi) = \sum_{norte} \frac{i ϕ_{norte} (X) ϕ_{norte}^{*} (y)}{mi - {mi}_{norte}} \propto \frac{1}{mi - H_{0}} .

$G^+(x,y,E) = \sum_n \frac{i\phi_n(x) \, \phi_n^\ast (y)}{E-E_n} \propto \frac{1}{E-H_0}.$

fácilmente justificable tomando la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico $\phi$ al vacío $\nabla^2\phi = 0$ . La solución de la función de Green es $\epsilon_0 \nabla^2V(\mathbf{r}) = - \delta^{(3)}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$ , cuya solución sabe que es una carga puntual con $V(\mathbf{r}) = 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|$

Las funciones de Green nos permiten interpretar un problema de perturbación en términos de una partícula que se propaga. Una perturbación interrumpe la propagación a través de un proceso de dispersión, tras lo cual se reanuda la propagación de partículas libres.

Un hamiltoniano genérico $H = H_0 + V$ se descompone en su solución soluble que proporciona un propagador de partículas libres $H_0$ y en una perturbación no solucionable analíticamente $V$ .

La función de Green está dada por

GRAMO \propto \frac{1}{mi - H} = \frac{1}{mi - H_{0} - V},

$G \propto \frac{1}{E-H} = \frac{1}{E-H_0 -V},$ que se llamaría el propagador completo para distinguirlo del propagador libre

G_{0} \propto 1 / (E - H_{0})

$G_0 \propto 1/(E-H_0)$ .

En un enfoque perturbativo, donde $V \ll H_0$ , la expresión anterior se puede escribir como:

GRAMO = \frac{1}{mi - H_{0} - V} = \frac{1}{mi - H_{0}} + \frac{1}{mi - H_{0}} V \frac{1}{mi - V_{0}} + \frac{1}{mi - H_{0}} V \frac{1}{mi - V_{0}} V \frac{1}{mi - V_{0}} + \dots

$G = \frac{1}{E-H_0-V} = \frac{1}{E-H_0} + \frac{1}{E-H_0}V\frac{1}{E-V_0}+\frac{1}{E-H_0}V\frac{1}{E-V_0}V\frac{1}{E-V_0} + \dots$ o

GRAMO = {GRAMO}_{0} + {GRAMO}_{0} V {GRAMO}_{0} + {GRAMO}_{0} V {GRAMO}_{0} V {GRAMO}_{0} + \dots

$G = G_0 + G_0 V G_0 + G_0 V G_0 V G_0 + \dots$

que es una serie geométrica, reescrita como:

GRAMO = {GRAMO}_{0} (1 + V {GRAMO}_{0} + V {GRAMO}_{0} V {GRAMO}_{0} + \dots) = \frac{{GRAMO}_{0}}{1 - V {GRAMO}_{0}} = \frac{1}{{GRAMO}_{0}^{- 1} - V},

$G = G_0(1 + VG_0 + VG_0VG_0 + \dots) = \frac{G_0}{1-V G_0} = \frac{1}{G_0^{-1}-V},$

que se conoce como ecuación de Dyson .

Ejemplo 3

La ecuación de Schrödinger para un hamiltoniano genérico $H$ es:

i ℏ \frac{d}{d} | ψ_{t} ⟩ = H | ψ_{t_{0}} ⟩ .

$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}|\psi_t\rangle = H |\psi_{t_0}\rangle.$

⟹ | ψ_{t} ⟩ = tu (t, t_{0}) | ψ_{t_{0}} ⟩,

$\implies |\psi_t\rangle = U(t,t_0) |\psi_{t_0}\rangle,$

dónde $U$ es el operador de evolución temporal.

En la imagen de interacción, el hamiltoniano se divide entre su parte libre $H_0$ y parte interactuante $H'$ tal que la evolución temporal de la imagen de interacción Haimltonian $H_I$ es dado por $H_I(t) = e^{iH_0 t/\hbar}H'e^{-iH_0t/\hbar}$ .

El operador de evolución temporal en esta imagen se convierte en $U_I = e^{iH_0t/\hbar}Ue^{-iH_0t/\hbar}, y satisface la siguiente ecuación de movimiento:

i ℏ \frac{d}{d t} {tu}_{I} = H_{I} {tu}_{I} .

$i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}U_I = H_I U_I.$

La solución a lo anterior es:

{tu}_{I} (t, t_{0}) = 1 - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} H_{I} (t^{'}, t_{0}) {tu}_{I} (t^{'}, t_{0}),

$U_I(t,t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{d}t' H_I(t', t_0)\,U_I(t', t_0) ,$

y se puede iterar manteniendo la inserción de la expresión para el $U_I$ en la integral:

{tu}_{I} (t, t_{0}) = 1 - \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} H_{I} (t^{'}, t_{0}) + {(- \frac{i}{ℏ})}^{2} \int_{t_{0}}^{t} d t^{″} \int_{t_{0}}^{t} d t^{‴} H_{I} (t^{″}, t_{0}) H_{I} (t^{‴}, t_{0}) + \dots

$U_I(t,t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{d}t' H_I(t', t_0)\ + \left (-\frac{i}{\hbar} \right )^2 \int_{t_0}^t \mathrm{d}t'' \int_{t_0}^t \mathrm{d}t''' H_I(t'', t_0)\,H_I(t''', t_0) +\dots$

Volviendo a $U = e^{-iH_0t}U_Ie^{iH_0t}$ , identificando $G_0 = e^{iH_0t}$ y $H_I = V$ , obtenemos la ecuación de Dyson según el punto anterior.

Por eso $U$ también se llama operador de Dyson y la expansión perturbativa se conoce como serie/expansión de Dyson .

El operador de orden de tiempo $T$ también se debe agregar.

Teoría cuántica de campos y ejemplo 4

Mientras que el primer propagador de cuantificación es el mismo que una función de Green, en la segunda cuantificación el propagador solo se denomina como tal por analogía.

En efecto:

{GRAMO}^{+} (X, y) = θ (X^{0} - y^{0}) ⟨ Ω | \hat{ϕ} (X) {\hat{ϕ}}^{†} (y) | Ω ⟩,

$G^+(x,y) = \theta(x^0 - y^0) \langle \Omega| \hat{\phi}(x)\hat{\phi}^\dagger (y) |\Omega \rangle,$ dónde

| Ω ⟩

$|\Omega\rangle$ es el vacío que interactúa,

x

$x$ y

y

$y$ ahora son cuatro vectores en el espacio-tiempo, y

\hat{ϕ^{†}} (y)

$\hat{\phi^\dagger}(y)$ es un operador de campo que crea una partícula en

(y^{0}, y)

$(y^0, \mathbf{y})$ .

Su expresión acaba de obtenerse al requerir la superposición $A$ entre un estado entrante y saliente que se expresará en términos de estados libres que no interactúan:

A =_{i norte t mi r a C t i norte gramo} ⟨ q | pag ⟩_{i norte t mi r a C t i norte gramo} =_{F r mi mi} ⟨ q | S | pag ⟩_{F r mi mi},

$A = _{\mathrm{interacting}}\langle q|p\rangle_{\mathrm{interacting}} = _{\mathrm{free}}\langle q|S|p\rangle_{\mathrm{free}},$ con

S

$S$ siendo la matriz de dispersión.

La matriz de dispersión $S$ está relacionado con el operador de evolución $U$ arriba por $S = \lim_{t\rightarrow \infty, t_0 \rightarrow -\infty} U(t,t_0)$ .

Relación entre las ecuaciones de Dyson de diferentes problemas

Descubrimiento

1. Ecuación de onda

2. Propagador de una sola partícula - 1

3. Propagador de una sola partícula - 2

4. Función de Green en física de la materia condensada

Pregunta

Respuestas (1)

SuperCiocia

Funciones de Green y ejemplo 1

Ejemplo 2 y mecánica cuántica

ecuación de Dyson

Ejemplo 3

Teoría cuántica de campos y ejemplo 4

¿Por qué la función de Green divergerá en el mismo punto del espacio-tiempo?

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