¿Los operadores de escalera aaa y a†a†a^\dagger forman una base de álgebra completa?

Question

¿Los operadores de escalera aaa y a†a†a^\dagger forman una base de álgebra completa?

aaron brodutch

Es fácil construir cualquier operador (en variables continuas) usando el conjunto de operadores

{| ℓ ⟩ ⟨ metro |},

$\{|\ell\rangle\langle m |\},$ dónde

l

$l$ y

m

$m$ son enteros y los operadores se representan en base Fock, es decir, cualquier operador

\hat{M}

$\hat M$ Se puede escribir como

\hat{METRO} = \sum_{ℓ, metro} α_{ℓ, metro} | ℓ ⟩ ⟨ metro |

$\hat M=\sum_{\ell,m}\alpha_{\ell,m}|\ell\rangle\langle m |$ dónde

α_{ℓ, m}

$\alpha_{\ell,m}$ son coeficientes complejos. Mi pregunta es, ¿podemos hacer lo mismo con el set?

{a^{k} (a^{†})^{ℓ}} .

$\{a^k (a^\dagger)^\ell\}.$

En realidad, esto se reduce a un solo ejemplo que sería suficiente. ¿Podemos encontrar coeficientes? $\alpha_{k,\ell}$ tal que

| 0 ⟩ ⟨ 0 | = \sum_{k, ℓ} α_{k, ℓ} a^{k} (a^{†})^{ℓ} .

$|0\rangle\langle 0|=\sum_{k,\ell}\alpha_{k,\ell}a^k (a^\dagger)^\ell.$ (aquí

| 0 ⟩

$|0\rangle$ es el vacio y me llevo

a^{0} = I

$a^0=I$ )

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AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Teorema : cualquier operador $\mathcal O$ puede expresarse como una suma de productos de operadores de creación y aniquilación:

\begin{matrix} (4.2.8) & O = \sum_{norte, metro \in norte} (a^{†})^{norte} (a)^{metro} C_{norte metro} \end{matrix}

$\mathcal O=\sum_{n,m\in\mathbb N} (a^\dagger)^n(a)^m c_{nm}\tag{4.2.8}$ para algunos coeficientes

c_{n m} \in C

$c_{nm}\in\mathbb C$ .

Este teorema se puede generalizar a la teoría de campos, donde $a,a^\dagger$ están indexados por parámetros continuos. La demostración del teorema generalizado se puede encontrar en la ref.1.

Para completar, bosquejamos la demostración aquí. Procedemos por inducción. Dado $\mathcal O$ , establecimos

C_{00} := ⟨ 0 | O | 0 ⟩

$c_{00}:=\langle 0|\mathcal O|0\rangle$

Ahora afirmamos que si somos capaces de arreglar $c_{nm}$ para todos $(n,m)\leq(\ell,k)$ con $(n,m)\neq (\ell,k)$ de modo que $(4.2.8)$ se cumple para todos los elementos de la matriz con $n$ - y $m$ -estados de partículas, entonces podemos arreglar $c_{\ell k}$ de modo que lo mismo es válido para los elementos de la matriz con $\ell$ - y $k$ -estados de partículas. Esto es fácil de ver, porque intercalar $(4.2.8)$ entre $\langle \ell|$ y $|k\rangle$ , obtenemos

⟨ ℓ | O | k ⟩ = ℓ! k! C_{ℓ k} + términos que implican C_{norte metro} con (norte, metro) \leq (ℓ, k) y (norte, metro) \neq (ℓ, k)

$\langle\ell|\mathcal O|k\rangle=\ell! k!c_{\ell k}+\text{terms involving $c_{nm}$ with $(n,m)\leq(\ell,k)$ and $(n,m)\neq(\ell,k)$}$ de donde se sigue la pretensión. Por inducción se demuestra el teorema.

\begin{matrix} ◻ \end{matrix}

$\tag*{$\square$}$

Referencias.

Weinberg - Teoría cuántica de campos , Vol.1, §4.2.

¿Por qué la única ecuación numerada en esta publicación es 4.2.8? o_O
@DanielSank Oh, tengo un código personal: los cuatro significan que estaba feliz cuando escribí esto; los dos son para 2Pac; y el ocho es un secreto. (La ecuación se tomó de la referencia y tiene ese número en el libro: i.imgur.com/bMEWTfl.png )

Cosmas Zachos · Answer 2

@Accidental te recuerda que este es un teorema. Para verlo realmente en sus términos, use la representación de matriz infinita de $a, \quad a^\dagger$ del QM clásico del Mesías, v 1, ChXII, § 5 . Específicamente, su operador de proyección de vacío tiene un 1 en la entrada 1,1 y ceros en todas partes.

El operador que eligió es extraño para representar, pero, puramente formalmente, el operador diagonal para $N\equiv a^\dagger a$ ,

| 0 ⟩ ⟨ 0 | = (1 + norte) (1 - norte) \frac{2 - norte}{2} \frac{3 - norte}{3} \frac{4 - norte}{4} . . .

$|0\rangle\langle 0|=(1+N) (1-N) \frac{2-N}{2} \frac{3-N}{3} \frac{4-N}{4} ...$ haría el truco, una vez ordenado anti-normal.

pero, ¿puede esta expresión 'puramente formal' acercarse arbitrariamente al operador bajo algún sentido de norma o topología a medida que tomamos más términos en la expansión?
¿Estás pidiendo una prueba empedernida de una broma formal? Los factores son todas matrices diagonales. Si trunca en m, por supuesto que funciona --- si confiaba en su orden normal. Pero luego te reducen a @Pisanty & Nahmad-Achar 2012 . Seguramente una pregunta diferente, ¿no?

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aaron brodutch

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DanielSank

AccidentalFourierTransformar

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acechador

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