Elementos fuera de la diagonal de la matriz hamiltoniana H12H12H_{12} & H21H21H_{21}: ¿energía de transición de |1⟩|1⟩|1\rangle a |2⟩|2⟩|2\rangle o amplitud de transición?

En una matriz hamiltoniana como esta:

H = ( mi 11 mi 12 mi 21 mi 22 )
, mi 11 & mi 22 representa la energía de los estados | 1 ⟩ & | 2 ⟩ que son los estados base de un sistema. Pero que pasa mi 12 & mi 21 ? Son los elementos fuera de la diagonal; ¿Son energía para la transición? | 1 ⟩ → | 2 ⟩ & | 2 ⟩ → | 1 ⟩ ¿respectivamente?

Feynman, en sus conferencias siempre llamó a estos elementos la amplitud para moverse de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ & viceversa.

∙ 1ra referencia :

La molécula de amoníaco tiene un átomo de nitrógeno y tres átomos de hidrógeno ubicados en un plano debajo del nitrógeno por lo que la molécula tiene forma de pirámide[...]Diremos que la molécula está en el estado | 1 ⟩ cuando el nitrógeno está " arriba " y está en el estado | 2 ⟩ cuando el nitrógeno está “ bajo ”,[...]

i ℏ d C 1 d t = H 11 C 1 , i ℏ d C 2 d t = H 22 C 2 .
Podemos resolver fácilmente estas dos ecuaciones; obtenemos
C 1 = ( constante ) mi − ( i / ℏ ) H 11 t , C 2 = ( constante ) mi − ( i / ℏ ) H 22 t .
Estas son solo las amplitudes para estados estacionarios con las energías mi 1 = H 11 y mi 2 = H 22 . Resulta que es posible que el nitrógeno se abra paso a través de los tres hidrógenos y pase al otro lado. Hay, por lo tanto, una pequeña amplitud en la que una molécula que comienza en | 1 ⟩ llegará al estado | 2 ⟩ . los coeficientes H 12 y H 21 no son realmente cero. Nuevamente, por simetría, ambos deberían ser iguales, al menos en magnitud. De hecho, ya sabemos que, en general, H i j debe ser igual al complejo conjugado de H j i , por lo que solo pueden diferir en una fase. Resulta, como verás, que no hay pérdida de generalidad si los tomamos iguales entre sí. Por conveniencia posterior, los igualamos a un número negativo; nosotros tomamos H 12 = H 21 = − A .

∙ 2ª referencia :

[...] Si no hubiéramos tenido en cuenta la posibilidad de que el nitrógeno cambiara de un lado a otro , habríamos tomado A igual a cero y los dos niveles de energía estarían uno encima del otro en energía mi 0 .

∙ 3ra referencia :

Mientras los dos protones del ion molecular de hidrógeno estén muy separados, todavía se requiere esta cantidad de energía (que para nuestras consideraciones actuales es una gran cantidad de energía) para colocar el electrón en algún lugar cerca del punto medio entre los protones. Entonces es imposible, clásicamente, que el electrón salte de un protón al otro. Sin embargo, en mecánica cuántica es posible, aunque no muy probable. Hay una pequeña amplitud para que el electrón se mueva de un protón al otro. Entonces, como primera aproximación, cada uno de nuestros estados base | 1 ⟩ y | 2 ⟩ tendrá la energía mi 0 , que es solo la energía de un átomo de hidrógeno más un protón. Podemos tomar que los elementos de la matriz hamiltoniana H 11 y H 22 ambos son aproximadamente iguales a mi 0 . Los otros elementos de la matriz H 12 y H 21 , que son las amplitudes para que el electrón vaya y venga , escribiremos nuevamente como − A .

∙ 4ª referencia :

Ahora la amplitud A que un electrón que está cerca de un protón llegue al otro depende de la separación entre los protones. Cuanto más juntos están los protones, mayor es la amplitud.

Entonces, Feynman siempre considera H 12 y H 21 como la amplitud para la transición. Aunque no llamaría H aquí un operador sino más bien un generador de traslación del tiempo , pero no es la energía de transición.

Pero ¿por qué no son energía de transición ? Después de todo, son los elementos de la matriz hamiltoniana, ¿no es así?

Pregunté lo mismo en mi consulta anterior y obtuve esto :

Es A la energía para ir de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ ? ¿Es la amplitud para ir de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ ? No entiendo esto porque Feynman se refiere a la amplitud, pero dado que es un elemento de la matriz hamiltoniana, debería ser la energía para pasar de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ me gusta H 11 siendo la energía de | 1 ⟩ . Asi es H i j la energía o la amplitud para ir de | 1 ⟩ o | 2 ⟩ ? – usuario36790

@ user36790 Tiene unidades de energía, pero es un término fuera de la diagonal en el hamiltoniano, por lo que no representa la energía de un estado. Yo lo llamaría una amplitud o un acoplamiento. - zeldredge

Por la respuesta, pude saber que los elementos fuera de la diagonal no son energía de transición .

Pero, ¿cuáles son las energías de los estados estacionarios? Están: mi 0 − A & mi 0 + A ; si − A no es la energía de transición , cómo podría contribuir a la energía del estado estacionario: mi 0 ± A ? No estoy entendiendo esto. − A es el generador de tiempo-evolución para la transición de | 1 ⟩ a | 2 ⟩ , entonces ¿cómo podría tomarse como parte de las energías en los estados estacionarios? Además, me gustaría saber por qué los elementos fuera de la diagonal no representan energía. ¿Alguien puede explicar por favor?

Puede encontrar una respuesta que di a un problema relacionado algo útil para comprender este problema.
La primera oración de esto no es correcta, mi 11 no es la energía de estado | 1 ⟩ . si aplicas H | 1 ⟩ usted no recibe mi 11 | 1 ⟩ , obtienes una superposición de estados.

Respuestas (2)

Sé que esta es una pregunta antigua, pero no estoy seguro de que todas las partes de la pregunta del OP se hayan abordado por completo.

Los elementos fuera de la diagonal del hamiltoniano, como señaló @Discovery, son indicativos del acoplamiento entre los dos estados de energía. Si son cero, hay probabilidad cero de una transición entre ∣ 1 ⟩ y ∣ 2 ⟩ . Sin embargo, dado que aquí son distintos de cero, existe una probabilidad de transición distinta de cero.

Creo que la razón por la que Feynman se refiere a estos como amplitudes de transición es que dictan cómo cambia la amplitud en el tiempo. Normalmente he oído hablar de esto como la frecuencia de transición .

Para ilustrar esto, tenga en cuenta que la amplitud de probabilidad de ∣ 1 ⟩ →∣ 2 ⟩ Tiempo después t es

⟨ 2 ∣ tu † tu ∣ 1 ⟩ = ⟨ 2 ∣ mi i H t / ℏ mi − i H t / ℏ ∣ 1 ⟩
que se puede expresar como

⟨ 2 ∣ mi i H t / ℏ ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ mi − i H t / ℏ ∣ 1 ⟩   +   ⟨ 2 ∣ mi i H t / ℏ ∣ 2 ⟩ ⟨ 2 ∣ mi − i H t / ℏ ∣ 1 ⟩ =

mi i mi 12 t / ℏ mi − i mi 11 t / ℏ + mi i mi 22 t / ℏ mi − i mi 12 t / ℏ =

mi − i ( mi 11 − A ) t / ℏ + mi i ( mi 22 − A ) t / ℏ

Entonces puede ver que la amplitud de transición oscila con una frecuencia proporcional a una diferencia de energía que depende de A .

Permítanme considerar el problema aquí brevemente. Establezca una base de espacio de Hilbert bidimensional que consta de dos vectores,

| 1 ⟩ = ( 1 0 ) , | 2 ⟩ = ( 0 1 )

suponiendo que son vectores propios de hamiltoniano dado al principio. A partir del postulado general de la mecánica cuántica, cualquier otro estado bajo el mismo hamiltoniano puede describirse mediante

| ψ ⟩ = C 1 | 1 ⟩ + C 2 | 2 ⟩ = C 1 ( 1 0 ) + C 2 ( 0 1 ) .

Entonces podemos ver que

H | ψ ⟩ = C 1 ( mi 11 mi 21 ) + C 2 ( mi 12 mi 22 ) y

(1) ⟨ ψ | H | ψ ⟩ = | C 1 | 2 mi 11 + C 1 ∗ C 2 mi 12 + C 1 C 2 ∗ mi 21 + | C 2 | 2 mi 22

Sin embargo cuando mi 12 y mi 21 no son cero, los dos vectores base no son vectores propios ya que H | 1 , 2 ⟩ ≠ C | 1 , 2 ⟩ . Entonces deberíamos tratarlos simplemente como una base y los vectores propios del hamiltoniano tienen la forma de | ψ ⟩ . En la base del vector propio verdadero, la matriz hamiltoniana se puede describir mediante la forma de diagonal de bloque.

De todos modos suponiendo que mi 11 = mi 22 , mi 12 = mi 21 , la matriz hamiltoniana diagonalizada es

H = ( mi 11 − mi 12 0 0 mi 11 + mi 12 )

y los vectores propios correspondientes son

(2) | yo ⟩ = 1 2 [ − | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ] , | yo yo ⟩ = 1 2 [ | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ] .

De la ecuación ( 1 ) , podemos ver que cualquier estado arbitrario | ψ ⟩ tener energía mi 11 + ( desviación ) y de la ecuacion ( 2 ) , los vectores propios verdaderos son estados mixtos de estados ascendentes y descendentes discretos.

No podemos describir estados en la ec. ( 2 ) ni hacia arriba, hacia abajo o en el estado medio. Estados en la ec. ( 2 ) "se desvía" de los estados hacia arriba y hacia abajo por igual, por lo que la energía de desviación en la ec. ( 1 ) es + mi 12 o − mi 12 como se ve en hamiltoniano diagonalizado. No son energías de transición discreta sino el grado de desviación o mezcla de estados.

Elementos fuera de la diagonal de la matriz hamiltoniana H12H12H_{12} & H21H21H_{21}: ¿energía de transición de |1⟩|1⟩|1\rangle a |2⟩|2⟩|2\rangle o amplitud de transición?
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