¿Se pueden hacer las matemáticas de la física sin usar −1−−−√−1\sqrt{-1}?

El uso de números complejos nunca es realmente esencial , pero si es aplicable, casi siempre es más conveniente que la representación equivalente en un espacio vectorial real 2d (de hecho, uno típicamente aprende las propiedades formales de las manipulaciones de números complejos por su efecto en$(a,b) = a+ib.$)

Usted menciona que los números complejos no parecen necesarios para la electrodinámica clásica, y estoy de acuerdo; sin embargo, no puedo imaginar a ninguna persona de mente clara que renuncie a su uso. De hecho, es en el E&M clásico donde creo que los números complejos realmente exhiben su gracia en la descripción de los fenómenos físicos.

Del mismo modo, como ha mencionado Lurscher, hay formulaciones de QM que evitan la referencia explícita a números complejos: son representaciones matemáticas equivalentes , pero las manipulaciones tienen un grado adicional de contabilidad que ya habíamos incorporado a los números complejos.

Y ese es el problema. Los números complejos son una herramienta para describir una teoría, no una propiedad de la teoría en sí. Lo que quiere decir que no pueden ser la diferencia fundamental entre la mecánica clásica y la cuántica. El verdadero origen de la diferencia es la naturaleza no conmutativa de la medición en QM. Ahora bien, esta es una propiedad que puede ser capturada por todo tipo de bestias, incluso matrices de valor real.

about 2. revisa esta pregunta sobre un formalismo alternativo para la Mecánica Cuántica con ecuaciones donde solo aparecen densidades de probabilidad real y corrientes. El artículo relevante de wikipedia es este sobre las ecuaciones de Madelung .

No conozco ningún intento de extender lo mismo a QFT. Dado que los residuos complejos son la mantequilla y el pan de la mayoría de los diagramas de bucle de Feynmann, dudo que sea fácil o gratificante

Supongamos que los sustantivos básicos de nuestro idioma para describir el mundo físico son los miembros de los grupos de Lie. De acuerdo, esta es una declaración que suena pomposa y algo arbitraria, pero mi justificación es que estos objetos describen todas las simetrías continuas que pueden existir, y casi todas las aclaraciones de física usando matemáticas se hacen (1) al ver un objeto matemático desde un punto de vista diferente (unificación de conceptos hasta ahora aparentemente no relacionados) o (2) explotando simetrías para reducir o deshacerse de la complejidad redundante en una declaración. En nuestras múltiples y continuas descripciones del Mundo físico, estas simetrías son todas continuas. Entonces, en algún lugar de esa lista de simetrías, nos encontramos$U(1)$,$SU(2)$,$SO(3)$,$U(N)$Etcétera. Así que necesitaríamos hacer cálculos y simplificaciones con estos objetos cuando explotamos las simetrías de un problema. Ya sea que elijamos o no destacar un objeto como:

y darle un símbolo especial$i$dónde$i^2=-1$es una "cuestión de gustos", por lo que en este sentido el uso de números complejos no es imprescindible. No obstante, todavía nos encontraríamos con este objeto y otros similares y tendríamos que manejar declaraciones que involucren tales objetos al describir la física en una variedad continua; no hay forma de evitar esto, ya que pertenece a cualquier descripción completa de las simetrías del Mundo. Entonces, en este sentido, los números complejos, los cuaterniones, los octoniones, etc., están ahí y son esenciales en tal descripción. Tenga en cuenta que los números complejos y su álgebra son habituales para casi todos en física, los cuaterniones para un poco menos de físicos y los octoniones para muchos menos. Esto está simplemente relacionado con la frecuencia con la que surgen los cálculos de simetría relevantes: casi cualquier simetría continua interesante involucra objetos de grupo de Lie para los cuales$i^2=-1$y entonces los destacamos y cometemos todas las reglas de su álgebra para evitar que nos volvamos completamente libres y nos comprometan con los manicomios escribiendo sus representaciones teóricas completas de Lie todo el tiempo. Separar los cuaterniones y hacer lo mismo ahorra algo de trabajo, pero no tanto, porque los cuaterniones aparecen en menos simetrías. En el momento en que llegamos a los octoniones, las simetrías en las que surgen son bastante raras, por lo que no es que muchos de nosotros seamos muy expertos con su álgebra especial (incluido yo): podemos hacer los cálculos de matriz / mentira completos sin demasiado dolor porque no los hacemos tan a menudo, por lo que no notamos su octonaje tan fácilmente.

Nota al pie: Uno puede tomar "miembros del grupo de mentiras" y "simetrías continuas" como iguales a fuerza de:

1. La solución al quinto problema de Hilbert por Montgomery, Gleason y Zippin , es decir, no necesitamos el concepto de variedad ni el concepto de analiticidad ($C^\omega$) - estos "se construyen a sí mismos" a partir de la idea básica de un grupo topológico continuo;
2. La clasificación de todas las álgebras de Lie por Wilhelm Killing (cuyo vio que podía hacerlo, pero arruinó un poco la prueba) y el gran Elie Cartan, para que sepamos cómo son todas las simetrías continuas. Una vez que hemos clasificado todas las álgebras de Lie, podemos encontrar todos los grupos de Lie posibles, dado que cada grupo de Lie tiene un álgebra de Lie, cada álgebra de Lie se puede exponenciar en un grupo de Lie ( por ejemplo , a través de la matriz exponencial, ya que cada álgebra de Lie se puede representar como También se conoce un álgebra de Lie matricial (teorema de Ado)) y las relaciones (topológicas globales) entre grupos de Lie que tienen la misma álgebra de Lie.

La mecánica cuántica necesita necesariamente números complejos. Es posible reemplazar números complejos con números reales, pero eso ocultaría mucha estructura y es puramente un truco matemático.

siendo la amplitud de Feynman$e^{i S}$, o la relación de conmutación indica que algo profundo está pasando y que no se puede entender tratándolos como 2 números reales.

Feynman solía hablar de la mecánica cuántica como una extensión compleja de la teoría clásica de la probabilidad.

ver

enfoque del espacio-tiempo a la mecánica cuántica no relativista y

El Concepto de Probabilidad en Mecánica Cuántica ( Link )

Buena suerte tratando de hacer teoría de circuitos de CA sin números complejos, y esto es puramente física/ingeniería clásica. Gran parte de mi trabajo depende de la teoría de circuitos y la noción de impedancia compleja. No diré categóricamente que la teoría de circuitos no se puede hacer puramente en números reales, pero nunca la he visto. Tal vez se encuentren ejemplos en la literatura del siglo XIX. De vez en cuando he intentado resolver problemas simples usando solo números reales y terminé desistiendo por disgusto.

La aritmética compleja funciona tan bien, ¿por qué evitarla?

Para responder a la parte 2 de su pregunta: para la mecánica cuántica, los números complejos no solo facilitan el proceso de derivación. De hecho, si dos cantidades reales se combinan en QM para formar una cantidad compleja, esto se hace para enfatizar que estas dos cantidades no se pueden medir simultáneamente, vea también mi respuesta aquí: https://physics.stackexchange.com/a/83219/ 1648 .

Entonces, en ese sentido, las cantidades complejas son un ingrediente esencial de QM (donde no todo se puede medir simultáneamente), pero no en la mecánica clásica (donde las mediciones simultáneas no son un problema).

Los números complejos tienen dos operaciones, suma y multiplicación.

Si solo fuera a agregar, se agregan como vectores, por lo que probablemente solo usaría vectores (aunque a veces una suma de vectores 2D puede parecer una serie geométrica en notación compleja, por lo que se puede agregar más fácilmente incluso si pudiera hacerlo sin multiplicación ).

Si solo tuviera que multiplicar, tal vez solo usaría rotaciones, ya que así es como actúan. Y ese es también el problema de evitarlos. En un plano, la mitad de una rotación completa es lo mismo que multiplicar por -1, por lo que las dos raíces cuadradas son los dos cuartos de rotación. Si a veces escalas y a veces giras y a veces trasladas en el plano y a veces haces un montón uno tras otro, entonces probablemente tengas algo que actúe como los números complejos, así que tal vez quieras aprenderlo una vez y usarlo. en todas partes para que no termines aprendiendo un montón de cosas separadas que actúan de la misma manera y tienen diferentes nombres y notaciones.

Sin embargo, si tiene que hacer todas esas mismas cosas en dimensiones superiores, entonces tal vez quiera aprender buenas formas de hacerlo en general nD y luego puede hacerlo en 2D como casos especiales. Hay muchos accidentes en 2D, por lo que no todo en 2D se generaliza.