Transformada de Fourier de una función de onda inicial real

Considere la función de onda inicial dada por:

Ψ ( X , 0 ) = pecado ⁡ ( k 0 X ) .

Me han enseñado que para evolucionar en el tiempo un paquete de ondas, primero se debe encontrar la representación del espacio de momento de la función de onda, dada por:

Φ ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ Ψ ( X , 0 ) mi − i k X d X .
Entonces, la evolución temporal viene dada por una integral en términos de esta función de onda espacial de cantidad de movimiento.

Al calcular esto, obtuve el siguiente resultado:

Φ ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ pecado ⁡ ( k 0 X ) mi − i k X d X .
usando eso pecado ⁡ ( k 0 X ) = ℑ ( mi i k X ) obtenemos:
Φ ( k ) = 1 2 π ℑ ( ∫ − ∞ ∞ mi i ( k 0 − k ) X d X ) .
Podemos reconocer la integral como una función delta:
Φ ( k ) = 1 2 π ℑ ( d ( k 0 − k ) )
Pero como la función delta es real, obtenemos que Φ ( k ) = 0 . Entonces, ¿qué estaba mal aquí? Por supuesto Φ no puede ser cero ya que la función de onda de posición es distinta de cero, entonces, ¿qué hice mal?

Respuestas (1)

Su problema, por lo que puedo ver, es un simple error de cálculo: si bien tiene razón en que pecado ⁡ ( k 0 X ) = I ( mi i k 0 X ) , no se sigue que

I ( mi i ( k 0 − k ) X ) = pecado ⁡ ( k 0 X ) mi i k X (¡Equivocado!) ,
como debería poder ver rápidamente, ya que el lado izquierdo debería ser real, pero el lado derecho tiene una parte imaginaria.

Sin embargo, puede usar un truco muy similar para encontrar la función de onda espacio-momento si se da cuenta de que

pecado ⁡ ( k 0 X ) = mi i k 0 X − mi − i k 0 X 2 i ,
de donde se puede utilizar la definición de la d − función para mostrar que
Φ ( k ) = d ( k 0 − k ) + d ( k 0 + k ) ,
que representa una superposición de ondas planas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha con el mismo impulso k 0 .

Nota al margen: si bien esto no es esencial para su pregunta, cuando desea encontrar la evolución temporal de una función de onda, lo que realmente desea hacer es expresarla como una combinación lineal de los estados propios de energía , no los estados propios de momento. En este caso, dado que asumo que está hablando de una partícula libre, puede encontrar una base de estados propios de impulso que también son estados propios de energía, pero en problemas más generales esto ciertamente no será posible. Supongo que este enfoque se debe a Griffiths, y creo que inicialmente confunde a muchos estudiantes.

¡Gracias! Eso fue un error incómodo, estoy demasiado acostumbrado a quitar Im y Re de las integrales si el integrando es un producto de dos funciones. ¡No tuvo en cuenta el hecho de que el exponencial era complejo! En la última parte de su pregunta, supongo que quiere decir que encontrar la representación del momento de esta manera se aplica solo para partículas libres, pero para el caso general, los estados propios de energía son el camino a seguir, ¿verdad?
Sí, eso es correcto.
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