El significado del tiempo imaginario

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El significado del tiempo imaginario

tiempo
Física
instantes
integral de trayectoria
rotación de mecha
números complejos

glebovg

¿Qué es el tiempo imaginario (o complejo)? Estaba leyendo sobre la función de onda del universo de Hawking y surgió este tema. Si la masa imaginaria y cantidades imaginarias similares no tienen sentido en física, ¿por qué debería tener sentido el tiempo imaginario (o complejo)?

Por imaginario me refiero a un múltiplo de $i$ , y por complejo me refiero a tener una parte real y una imaginaria, es decir, $\alpha + i\beta$ , dónde $\alpha, \beta \in {\mathbb R}$ .

Todd R.

He oído hablar de integrales giratorias en el tiempo en el dominio del tiempo complejo. No sé si el tiempo complejo tendría una interpretación física o si es solo una herramienta de cálculo. O si tu tiempo complejo y mi tiempo complejo son incluso la misma cosa. Buena pregunta.

resgh

A veces pienso que el tiempo imaginario debería ser espacio y el tiempo complejo debería significar una combinación de espacio y tiempo entrelazados... Gracias a la relatividad. Especulo esto ya que en la métrica de la relatividad, los signos de los componentes del espacio y el tiempo son opuestos, por lo que tomar sus raíces cuadradas sería...

José Javier García

tal vez pueda verse como un truco de 'continuación analítica', por lo que todas las cosas son finitas al final

t \to i t

$t \to it$ por continuación analítica

Respuestas (4)

El significado del tiempo imaginario

He oído hablar de integrales giratorias en el tiempo en el dominio del tiempo complejo. No sé si el tiempo complejo tendría una interpretación física o si es solo una herramienta de cálculo. O si tu tiempo complejo y mi tiempo complejo son incluso la misma cosa. Buena pregunta.
A veces pienso que el tiempo imaginario debería ser espacio y el tiempo complejo debería significar una combinación de espacio y tiempo entrelazados... Gracias a la relatividad. Especulo esto ya que en la métrica de la relatividad, los signos de los componentes del espacio y el tiempo son opuestos, por lo que tomar sus raíces cuadradas sería...
tal vez pueda verse como un truco de 'continuación analítica', por lo que todas las cosas son finitas al final $t \to it$ por continuación analítica

twistor59 · Answer 1

La forma más fácil de ver el uso del tiempo imaginario es en mecánica cuántica elemental en una dimensión. (Esta es la explicación copiada de wikipedia ).

Supongamos que estamos viendo un problema de túnel a través de una barrera. Empezamos con la ecuación de Schrödinger:

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} ψ (X)}{d X^{2}} + V (X) ψ (X) = mi ψ (X)

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

hacer el ansatz

ψ (X) = ψ_{0} Exp (\frac{i}{ℏ} S (X))

$\psi(x) = \psi_0 \exp(\frac{i}{\hbar}S(x))$

Entonces obtenemos

- \frac{i ℏ}{2 metro} \frac{d^{2} S (X)}{d X^{2}} + \frac{1}{2 metro} {(\frac{d S (X)}{d X})}^{2} + V (X) - mi = 0

$-\frac{i\hbar}{2m}\frac{d^2S(x)}{dx^2}+\frac{1}{2m}\left(\frac{dS(x)}{dx}\right)^2+V(x)-E=0$

que es no lineal. Podemos progresar con un $\hbar$ expansión

S (X) = S_{0} (X) + ℏ S_{1} (X) + \frac{ℏ^{2}}{2} S_{2} (X) + . . .

$S(x)=S_0(x)+\hbar S_1(x)+\frac{\hbar^2}{2}S_2(x)+...$

Después de un largo cálculo, podemos calcular varias amplitudes y derivar cosas como el coeficiente de efecto túnel de la barrera.

T = Exp (\frac{2}{ℏ} yo metro (S))

$T=\exp(\frac{2}{\hbar}Im(S))$

dónde

yo metro (S) = \int_{a}^{b} | pags (X) | d X

$Im(S)=\int_a^b |p(x)|dx$

( $p(x)=\sqrt{2m(E-V)}$ ) y $a$ y $b$ son los $x$ valores donde la función potencial es tal que $E<V(x)$ . Ahora Feynman ofrece otra forma de abordar esto, a saber, que la amplitud para pasar de x=a a x=b es simplemente

⟨ X = b | Exp (\frac{i H t}{ℏ}) | X = a ⟩ = \int D [X (t)] Exp (\frac{i S [X (t)]}{ℏ}) (1)

$\langle x=b|\exp(\frac{iHt}{\hbar})|x=a \rangle = \int \mathcal{D}[x(t)] \exp(\frac{iS[x(t)]}{\hbar}) \ \ \ (1)$ donde la integral es sobre el espacio de trayectorias clásicas

x (t)

$x(t)$ con los extremos correctos. Ahora bien, esto, aunque muy elegante, es extremadamente difícil de calcular: ¡después de todo, es una integral sobre un espacio dimensional infinito! El truco del tiempo imaginario funciona de la siguiente manera: solo haces un cambio de variable

t = - i τ

$t=-i\tau$ entonces la acción

S (X (t)) = \int \frac{1}{2} metro {(\frac{d X}{d t})}^{2} - V (X) d t

$S(x(t))=\int{\frac{1}{2}}m \left({\frac{dx}{dt}}\right)^2-V(x) dt$

se convierte

S (X (τ)) = i \int \frac{1}{2} metro {(\frac{d X}{d τ})}^{2} + V (X) d τ

$S(x(\tau))=i\int{ \frac{1}{2}}m \left({\frac{dx}{d\tau}}\right)^2+V(x) d\tau$ por lo que la energía potencial ha cambiado de signo en relación con la energía cinética (y obtuvimos un factor i general). Definición

S_{mi} (X (τ)) = \int (\frac{1}{2} metro (\frac{d X}{d τ})^{2} + V (X)) d τ

$S_E(x(\tau))=\int{(\frac{1}{2}}m ({\frac{dx}{d\tau}})^2+V(x)) d\tau$ , nuestra integral de trayectoria es ahora

⟨ X = b | Exp (\frac{- H τ}{ℏ}) | X = a ⟩ = \int D [X (τ)] Exp (\frac{- S_{mi} [X (τ)]}{ℏ}) (2)

$\langle x=b|\exp(\frac{-H\tau}{\hbar})|x=a \rangle = \int \mathcal{D}[x(\tau)] \exp(\frac{-S_E[x(\tau)]}{\hbar})\ \ (2)$ Ahora la integral estará dominada por caminos clásicos que extremizan esta acción. Mientras que un camino extremo que contribuya a (1) requeriría energía imaginaria para hacer un túnel a través del potencial, que parece una colina, para (2), la colina potencial ahora es un valle y el caso extremo correspondiente es solo el de una bola rodando hacia abajo. un lado del valle y subiendo por el otro. Habiendo hecho su cálculo en el espacio euclidiano, entonces procede tomando cualquier respuesta que haya obtenido y volviendo al espacio de Minkowski.

Tanto para la mecánica. Puedes hacer el mismo truco en la teoría de campos, donde tu integral de trayectoria ahora está sobre configuraciones de campo clásicas . Las configuraciones de campos extremos del espacio euclidiano se denominan instantones . Ahora en tu pregunta, Hartle y Hawkingestaban interesados en cuál es el equivalente, para las condiciones iniciales del universo, de "x=a" en nuestro ejemplo simple. Al igual que en el ejemplo de QM, estaban trabajando en tiempo euclidiano y querían que su equivalente de "x=b" fuera un universo de De Sitter. Su suposición fue que, en la integral de trayectoria, deberían incluir todas las métricas euclidianas para espacios sin límite. Así como nuestras trayectorias extremas euclidianas satisfacen las ecuaciones de la mecánica clásica en el tiempo euclidiano, las métricas incluidas en la integral de trayectoria de la cosmología cuántica satisfarían las ecuaciones euclidianas clásicas de Einstein.

Entonces, para resumir, el tiempo euclidiano es un truco inteligente para obtener respuestas a preguntas de integrales de trayectoria extremadamente malas. Por supuesto, en la época de Planck, en la que se aplica la integral de trayectoria sin límites, tal vez el tiempo euclidiano sea el único tiempo que tenga algún sentido. No sé, no creo que haya ningún consenso al respecto.

Juanrga · Answer 2

Agregaré a la respuesta twistor59. A Hawking le gustó el concepto de tiempo imaginario. $\tau=\mathrm{i}t$ porque transforma una métrica lorentziana

d s^{2} = - C^{2} d t^{2} + d X^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

en una métrica euclidiana de cuatro dimensiones

d s^{2} = + C^{2} d τ^{2} + d X^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$ds^2 = +c^2 d\tau^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Hawking y otros creían que de esta manera se podía desarrollar una teoría de la gravedad cuántica. Este enfoque se denominó "enfoque integral de la trayectoria euclidiana" de la gravedad cuántica o simplemente "gravedad cuántica euclidiana". Las opiniones de Hawking se resumen en JB Hartle y SW Hawking, "Wave function of the Universe" Phys. Rev. D 28 (1983) 2960–2975.

Este viejo enfoque no funciona porque con él surgen muchas dificultades y limitaciones.

Tenga en cuenta que aunque los tiempos imaginarios se utilizan a veces como un truco para simplemente algunos cálculos matemáticos en la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos, no tienen ningún significado físico.

¿Puede proporcionar algunas citas para "en la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos, [los tiempos imaginarios] no tienen ningún significado físico?"

de Kertanguy · Answer 3

Permítanme esbozar una idea para introducir el "tiempo imaginario".

Un fotón en un agujero negro o en una singularidad tiene que desaparecer, su energía debe ser 0.

Si ese fotón tuvo una existencia previa, el agujero negro tiene que descomponer su energía:

$E, A$ , o su energía $a+a-=\left(N+\frac12\right)h\nu$

La forma más sencilla es considerar el factor de fase del campo. $\exp^i(\Omega t-Kr)$

El fotón debe destruirse en la configuración:

$t->i\tau$ , que reduce el factor a cero cuando $\tau\rightarrow \infty$ .

Esto podría ser una idea de qué tiempo tau) imaginario debería ser útil

TMS · Answer 4

Otra forma de verlo es imaginar que el tiempo es una dimensión curva, en el sentido de que será cíclico. Para visualizar eso imagina un plano de dos dimensiones, entonces la tercera dimensión habitual será una línea perpendicular a este plano. Ahora considere que esta línea se dobla en un círculo, por lo que esta dimensión dará vueltas y vueltas, en el sentido de que tendrá un valor máximo después del cual regresará. Para información, este enfoque se llama Compactificación, y si está familiarizado con los números complejos, recuerde que la exponencial puramente imaginaria es cíclica.

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Todd R.

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José Javier García

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Juanrga

Michael Levy

de Kertanguy

TMS

Abhimanyu Pallavi Sudhir

¿Cómo puedo entender el problema del efecto túnel mediante la integral de trayectoria euclidiana donde la fluctuación cuadrática tiene un valor propio negativo?

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