¿El complejo conjugado de una derivada de un número de Grassmann debe incluir un signo?

Tome una variable Grassmann real, con lo que quiero decir θ = θ ∗ . Tenemos

∫ d θ   θ = 1 , ∂ ∂ θ θ = 1

Si defino la conjugación de las variables de Grassmann para invertir su orden,

( η θ ) ∗ = θ ∗ η ∗ ,
¿Debería entonces tener
( d θ θ ) ∗ = θ ∗ d θ ∗   ?
Pero esto significa

( ∫ d θ   θ ) ∗ = 1 ⇒ ∫ θ ∗ d θ ∗ = − ∫ d θ ∗   θ ∗ = 1 ,

Así que si θ = θ ∗ , Yo debería

d θ ∗ = − d θ .
Lo mismo se puede encontrar para la derivada de θ .

¿Es esta la convención habitual a tomar, o debería elegir en su lugar

( d θ θ ) ∗ = d θ ∗ θ ∗   ?

Respuestas (1)

Sí. OP tiene razón. Hay un menos. Como por convención la conjugación compleja obedece

(1) ( z w ) ∗   =   w ∗ z ∗   =   ( − 1 ) | z |   | w | z ∗ w ∗

para dos supernúmeros cualesquiera z , w (de paridades definidas de Grassmann | z | , | w | ), también deberíamos tener

(2) ( A F ) ∗   =   ( − 1 ) | A |   | F | A ∗ F ∗

para la conjugación compleja de un operador A y una funcion F , cf. por ejemplo, ref. 1 y 2. Ec. (2) se reduce a la ec. (1) si A es un operador de multiplicación por la izquierda . Es fácil comprobar que la ec. (2) implica que 1

(3) ( ∂ L ∂ z ) ∗   = ( 2 )   ( − 1 ) | z | ∂ L ∂ ( z ∗ ) .

Dado que la integración de Berezin es lo mismo que la diferenciación por la izquierda

(4) ∫ d θ   =   ∂ L ∂ θ , ∫ d θ ∗   =   ∂ L ∂ ( θ ∗ ) ,

deducimos que la conjugación compleja de la diferenciación impar de Grassmann produce un menos

(5) ( ∫ d θ ) ∗   = ( 4 )   ( ∂ L ∂ θ ) ∗   = ( 3 )   − ∂ L ∂ ( θ ∗ )   = ( 4 ) − ∫ d θ ∗ .

Referencias:

  1. B. DeWitt, Supermanifolds, Universidad de Cambridge. Prensa, 1992; ec. (2.2.19).

  2. SJ Gates, MT Grisaru, M. Rocek y W. Siegel, Superspace o Mil y una lecciones de supersimetría, arXiv:hep-th/0108200 ; ec. (3.1.9).

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1 el subíndice L ( R ) denota diferenciación izquierda (derecha), es decir, actuando desde la izquierda (derecha), respectivamente. Para completar, mencionemos que la diferenciación izquierda y derecha están conectadas a través de la fórmula

(6) ∂ L F ∂ z   =   ( − 1 ) ( | F | + 1 ) | z | ∂ R F ∂ z ,

para que la conjugación compleja satisfaga

(7) ( ∂ L ∂ z ) ∗ F   = ( 3 ) + ( 6 )   ( − 1 ) | z | | F | ∂ R F ∂ ( z ∗ ) , ( ∂ R ∂ z ) ∗ F   = ( 3 ) + ( 6 )   ( − 1 ) | z | | F | ∂ L F ∂ ( z ∗ ) .

Notas para más tarde: ⟨ v , w ⟩   :=   v † w   =   ⟨ w , v ⟩ ∗ ; ⟨ v , A w ⟩   =   ⟨ A † v , w ⟩ ; ( A B ) †   =   B † A † ; A †   =   ( A T ) ∗   =   ( A ∗ ) T ; ( A B ) T   =   ( − 1 ) | A | | B | B T A T ;
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