¿Cuál es la diferencia entre las soluciones de la EDO homogénea de segundo orden?

Estoy estudiando Vibraciones, y tenemos dos formas para la EDO homogénea de segundo orden:

metro X ̈ + k X ̇ = 0
X ( t ) = C 1 mi i w norte t + C 2 mi − i w norte t
y
X ( t ) = A porque ⁡ ( w norte t ) + B pecado ⁡ ( w norte t )
Aunque puedo usar cualquier solución para un problema dado (para problemas simples), ¿cuál es la diferencia entre las soluciones para ODE homogénea de segundo orden? ¿Cuándo usar uno sobre el otro? ¿Hay situaciones en las que una forma es más útil que la otra?

En realidad, estas dos soluciones son iguales, no son diferentes.
@Sourabh, por lo general A y B son reales y entonces la segunda solución es real pero la primera solución es real solo si C 2 = C 1 ∗ entonces ahí está esa diferencia.
@HalHollis Simplemente use la relación entre exponencial y seno y coseno y luego verá que la primera solución y la segunda función no son reales porque B no es real

Respuestas (2)

¿Cuál es la diferencia entre las soluciones de la EDO homogénea de segundo orden?

La segunda forma es un caso especial de la primera forma cuando C 2 = C 1 ∗ en ese caso X ( t ) es una función de tiempo de valor real (asumo aquí que tanto A y B Son reales)

Usando la fórmula de Euler , la primera forma se puede escribir como

( C 1 + C 2 ) porque ⁡ ( ω norte t ) + i ( C 1 − C 2 ) pecado ⁡ ( ω norte t )

donde, en general, C 1 y C 2 son números complejos. Ahora si C 2 = C 1 ∗ entonces esto es solo

2 ℜ { C 2 } porque ⁡ ( ω norte t ) + 2 ℑ { C 2 } pecado ⁡ ( ω norte t )

y entonces

A = 2 ℜ { C 2 }

B = 2 ℑ { C 2 }

¿Cuándo usar uno sobre el otro?

Para X ( t ) real, la segunda forma es explícitamente real.

Tenga en cuenta también para las partes real e imaginaria de la solución exponencial compleja, ℜ { X ( t ) } y ℑ { X ( t ) } , son en sí mismas dos soluciones independientes, y también lo son las dos soluciones reales ℜ { X ( t ) } y i ℑ { X ( t ) } . Esto es bueno, porque a veces puedes hacer algo de matemáticas con la solución compleja y extraer dos soluciones reales independientes al final, lo que es menos trabajo que comenzar con dos soluciones reales independientes y hacer las matemáticas en ambas por separado. Esto es incluso mejor si el RHS del diff.eq. no es cero, sino un término forzado armónico como ℜ { F mi i w t } .
@alephzero, no lo es ℑ { X ( t ) } ¿real? O dicho de otro modo, por X ( t ) complejo,
X ( t ) = ℜ { X ( t ) } + i ℑ { X ( t ) }
Gracias por consolidar la idea de que dos soluciones son lo mismo. Pero también me gustaría saber si alguno es más ventajoso que el anterior con respecto al estudio de las Vibraciones Mecánicas.
que significa asterisco al lado C 1 ?
@JekDenys, ¿ventajoso de qué manera? Si X ( t ) es un desplazamiento, entonces puede ver que la segunda forma de la solución se puede escribir en términos de las condiciones iniciales (desplazamiento inicial X 0 y velocidad inicial v 0 ) así:
X ( t ) = X 0 porque ⁡ ( ω t ) + v 0 ω pecado ⁡ ( ω t )
El asterisco significa conjugado complejo
@HalHollis, bueno, no sé, esa es precisamente mi pregunta. Estoy solo a la mitad del curso y no sé si hay una ventaja de usar una forma sobre la otra en algunas situaciones que aún no he aprendido. Así que estoy buscando aclaraciones sobre esto de alguien que haya pasado por el estudio de Vibraciones Mecánicas, y pueda decirme que sí, esta forma se usa mejor aquí. O, nop, no importará en ninguna situación de Mech Vib.
@HalHollis, entonces A y B son valores reales. Sí. Debería haber mencionado esto. ¿Puede agregar a su respuesta que la segunda forma de las soluciones (con A y B) está dando explícitamente valores reales, por favor?
@JekDenys, creo que ya lo dije en la oración final de mi respuesta. Aún así, actualizaré mi respuesta para aclarar ese punto.

Ninguna diferencia. Escribir pecado ⁡ ( X ) = 1 2 i ( mi i X − mi − i X ) y porque ⁡ ( X ) = 1 2 ( mi i X + mi − i X )

A porque ⁡ ( w t ) + B pecado ⁡ ( w t ) = 1 2 A ( mi i w t + mi − i w t ) + 1 2 i B ( mi i w t − mi − i w t ) = 1 2 ( A − i B ) mi i w t + 1 2 ( A + i B ) mi − i w t

las dos soluciones son iguales para

C 1 = 1 2 ( A − i B ) C 2 = 1 2 ( A + i B )

Por supuesto, lo siento, corregí la respuesta (pensé que algo andaba mal...)
Gracias por consolidar la idea de que dos soluciones son lo mismo. Pero también me gustaría saber si alguno es más ventajoso que el anterior con respecto al estudio de las Vibraciones Mecánicas.
Es solo una cuestión de conveniencia. A menudo es mejor trabajar con exponenciales en lugar de funciones trigonométricas porque las identidades exponenciales son más fáciles de recordar y más rápidas de aplicar, otras veces desea que quede explícito que la solución es real.
¡Ay! Veo. Eso ayuda. ¡Si tan solo su comentario pudiera agregarse a la respuesta de @Hal Hollis!
Sí, su respuesta es más precisa al afirmar que, en general, uno es un caso especial del otro, le sugiero que acepte la respuesta de @Hal Hollis
¿Cuál es la diferencia entre las soluciones de la EDO homogénea de segundo orden?
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