"Método de variables complejas" en Diff. ecuación - ¿Justificación y significado físico?

Cuando uno usa variables complejas de esta manera, nunca multiplica dos variables porque todo el sistema es lineal: si$z$es la variable oscilante y eliges representarla mediante un número complejo, entonces cosas como$z\times z$no surgen en una ecuación lineal, por lo que no obtiene el tipo de contradicción que astuta y claramente señaló anteriormente. Si la variable$z = r \exp(-i\,\omega\,t + i\,\phi)$se multiplica por un coeficiente complejo$\alpha = a e^{i\,\theta}$entonces esto se hace para impartir (1) una escala de amplitud por la constante de proporcionalidad real$a$y (2) un cambio de fase de$\theta$radianes, es decir , un retraso dado por una fracción$\theta / (2\pi)$del período de oscilación: no hay significado físico para tomar la parte real antes de que se imparta la operación de escala y retardo y los dos números complejos$\alpha$y$z$se han multiplicado por completo. Entonces, el procedimiento en esta técnica es que las cantidades complejas se transforman en las correspondientes reales tomando la parte real al final del cálculo, nunca antes.

¿Qué significa todo esto? Es simplemente linealidad: cualquier múltiplo de la solución también es una solución y cualquier suma de dos soluciones también es una solución. La solución general de estado estacionario para una ecuación lineal de coeficiente constante con término forzado ("entrada")$\cos(\omega\,t)$es siempre una función de la forma$a\cos(\omega\,t + \phi) = a \cos\phi \cos(\omega\,t) - a \sin\phi \sin(\omega\,t)$, por lo que podemos ver que nuestro "espacio de solución" es un espacio vectorial generado por las dos funciones$\cos(\omega\,t)$y$\sin(\omega t)$. Uno es simplemente cambiar la base y usar las funciones$\exp(i\,\omega\,t) = \cos(\omega\,t) + i\,\sin(\omega t)$y$\exp(-i\,\omega\,t) = \cos(\omega\,t) - i\,\sin(\omega t)$en cambio: por linealidad es una perfectamente válida. Además, si el sistema lineal tiene coeficientes reales, entonces la solución correspondiente a una entrada de la onda de "frecuencia negativa"$\exp(i\,\omega\,t)$es simplemente el conjugado complejo de la solución correspondiente a la entrada de la onda de "frecuencia positiva"$\exp(-i\,\omega\,t)$. Entonces podemos deducir el comportamiento del sistema en respuesta a cualquier término forzado de la forma$a\,\cos(\omega\,t) + b\, \sin(\omega t)$simplemente deduciendo el comportamiento en respuesta al prototipo$\exp(-i\,\omega\,t)$. Tomamos la parte real al final de un cálculo, lo que estamos haciendo en detalle es esto: estamos promediando nuestra solución con su complejo conjugado, es decir, en un paso estamos infiriendo el comportamiento del sistema para una entrada de la forma$\exp(+i\,\omega\,t)$y promediando con nuestra solución, por lo que nunca vemos realmente el$\exp(+i\,\omega\,t)$términos.

¿Por qué hacemos esto? Es mas fácil. Es importante tener en cuenta que no es imprescindible . Podríamos hacer todo en términos de senos y cosenos, y el párrafo anterior se puede hacer para mostrar que obtenemos el mismo resultado usando exponenciales complejas, y el tipo de "doble manejo" automático de exponenciales positivos y negativos que describí es probablemente el descripción más sucinta de cómo surge esta conveniencia.

La razón por la cual el método de variables complejas es factible es en realidad una representación equivalente de coordenadas cartesianas y coordenadas polares. Por lo general, cuando se describe una revolución, las funciones trigonométricas están involucradas en coordenadas cartesianas. Para evitarlos, introducimos la coordenada polar para que solo se utilicen el ángulo de acimut y la amplitud. Su ejemplo dado confunde la amplitud con la parte real de la representación compleja.