¿Dónde están ubicados los polos de la función de Green de una partícula en el plano complejo?

Es una buena pregunta, y tiene una hermosa respuesta.

Es cierto que para cualquier suma finita (refiriéndose a su primera expresión), uno no puede tener un polo complejo. Entonces la pregunta es: ¿cómo puede aparecer el polo complejo en el$\boldsymbol{n \to \infty}$¿límite? (Spoiler: puede).

La respuesta corta es que en el$n\to \infty$límite, la función de Green puede desarrollar un corte de rama. Lo que esto significa es que la función se define de manera más natural en una superficie de Riemann más grande, lo que significa que uno puede usar este corte de rama como un "portal" a una nueva hoja. ¡El polo complejo vive en esta nueva hoja! Ni siquiera M. Night Shyamalan podría haber pensado en esto.

Permítanme ilustrar esto con un ejemplo. Supongamos que tenemos

$$G(z) = \sum_n \frac{c_n}{z-\varepsilon_n}\qquad \textrm{with } c_n = \frac{1}{\pi} \frac{\Gamma}{\varepsilon_n^2 + \Gamma^2},$$ donde podemos pensar en el $\varepsilon_n$siendo una lista de energías igualmente espaciadas a lo largo del eje real. Esta función claramente no tiene polos complejos . Sin embargo, en el límite continuo, podemos calcular fácilmente (por ejemplo, usando el teorema del residuo) que obtenemos $$G(z) = \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\pi}\; \frac{\Gamma}{\varepsilon^2 + \Gamma^2} \; \frac{1}{z-\varepsilon} \mathrm d\varepsilon = \left\{ \begin{array}{ccl} \frac{1}{z+i\Gamma} && \textrm{if Im } z > 0, \\ \frac{1}{z-i\Gamma} && \textrm{if Im } z < 0. \end{array} \right.$$ ¡Claramente, esta función todavía no tiene polos complejos en el plano complejo! Sin embargo , ahora tenemos un corte de rama en el eje real. En tal caso, la función $G(z)$se define más naturalmente en una superficie de Riemann más general . En este caso tan simple, la situación es un poco divertida: hay dos continuaciones complejas, según vengamos de abajo o de arriba. En otras palabras, $G(z)$puede pensarse más naturalmente como definido en dos planos complejos separados: en uno tenemos $\frac{1}{z+i\Gamma}$, y por otro $\frac{1}{z-i\Gamma}$en el otro. Claramente, en este dominio más completo, las funciones son analíticas (es decir, no más corte de rama) y tenemos polos complejos en $z = \pm i \Gamma$! (Observación: estas dos funciones separadas corresponden a las funciones de Green retardada y avanzada).

Terminar con una superficie de Riemann que es la unión de dos espacios disjuntos es un poco inusual y es un artefacto de$G(z)$teniendo un corte de rama que partió el avión en dos. En situaciones más generales (donde el corte de la rama no se extiende sobre todo el eje real), la superficie de Riemann estará conectada. Seguirá siendo cierto que para llegar al polo complejo, deberá cruzar el corte de la rama hacia la nueva rama. (Dado que no se puede 'acceder' a esta nueva rama sin un corte de rama, tiene sentido que no haya un polo complejo para ninguna suma finita).