En un primer (o segundo) curso de mecánica cuántica, todos aprenden a resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para los estados propios de energía del átomo de hidrógeno:
En arXiv:1205.3740 se proporciona una buena descripción general del problema . Voy a resumir los puntos más importantes aquí.
Dejar sea el número de dimensiones del espacio. Entonces el operador de Laplace viene dado por
El potencial de Coulomb viene dado por la solución de
Una forma de mostrar la expresión anterior es considerar la Ley de Gauss en dimensiones, es decir, donde el área de la esfera se puede encontrar aquí .
Con esto, la ecuación de Schrödinger se lee
El problema tiene simetría esférica por lo que, como siempre, podemos escribir
Usando este formulario para , la ecuación de Schrödinger se convierte en
Ahora bien, este problema de valores propios no tiene solución analítica conocida, por lo que debemos recurrir a métodos numéricos. Puede encontrar los valores numéricos de las energías en el artículo arxiv. Un punto importante que se aborda en ese artículo es que no hay valores propios negativos para , es decir, no hay estados ligados en más de tres dimensiones. Pero para hay órbitas estables , con energía positiva, con funciones de onda bien comportadas.
Para responder a algunas de sus preguntas:
En general necesitas números cuánticos para dimensiones, módulo degeneraciones. En el caso del átomo de hidrógeno en 3D, están la simetría esférica y la simetría accidental , por lo que solo necesita un número cuántico. En dimensiones la simetría esférica permanece, pero creo que la accidental no, lo que significaría que necesitas números cuánticos para . Habría que comprobar si el vector de Runge-Lenz se conserva en dimensiones o no (queda como ejercicio). Si este vector se conserva realmente, entonces las energías dependerían de números cuánticos.
Como no existe una solución analítica para la ecuación radial de Schrödinger, no lo sabemos. En el caso de dimensiones, la regla de cuantización de Bohr-Sommerfeld resulta ser exacta. Podríamos comprobar lo que predice este esquema para (aunque no podríamos saber si sería exacto o no: debemos comparar con los resultados numéricos).
Estos son bien conocidos por los matemáticos. Puedes leer sobre ellos en el artículo de wikipedia .
En forma cerrada, no. No conozco una fórmula asintótica, pero debería ser bastante fácil de derivar de la ecuación radial de Schrödinger, donde el término centrífugo domina por , por lo que podemos despreciar el término de Coulomb.
En los sistemas simétricos esféricos, el potencial no depende de ni . En estos sistemas las energías no dependen de , el número cuántico azimutal . Por lo tanto, en general para los potenciales radiales las energías dependen de dos números cuánticos, . En el caso concreto de , hay otra simetría que es un poco inesperada (o al menos no es muy intuitiva geométricamente). Cuando la simetría rotacional se agranda en un simetría, y esta nueva simetría se conoce como simetría accidental . Esta simetría hace que los niveles de energía sean independientes de , eso es, . Nótese que esta simetría no está presente en el resto de la tabla atómica, es decir, los átomos multielectrónicos, lo que hace que los niveles de energía dependan del momento angular (y por tanto, de las reglas de Hund ).
Uno puede ilustrar lo anterior como
qmecanico