¿Soluciones 3d para la ecuación de Schrödinger 1d?

El enfoque general es que para las ecuaciones de Schrödinger donde el potencial es separable (en el sentido de que$V(x,y,z) = V_1(x) + V_2(y) + V_3(z)$) entonces existe una base de funciones propias hamiltonianas que son separables (en el sentido de que$\psi(x,y,z) = \phi(x)\chi(y)\xi(z)$). Sin embargo, en general, también hay funciones propias no separables del hamiltoniano.

En cuanto a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo , los detalles dependen no solo del potencial, sino también de la condición inicial. Hay muchas soluciones separables, y si la condición inicial es separable, la solución seguirá siendo separable. Por el contrario, si comienza con una condición inicial no separable, la solución seguirá siendo no separable.

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La separabilidad de la ecuación independiente del tiempo se trata en detalle en todos los libros de texto, así que mostraré cómo funciona esto para la versión dependiente del tiempo. Supongamos que comenzamos con la ecuación de Schrödinger en la forma

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,y,z,t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_1(x) + V_2(y) + V_3(z) \right]\psi(x,y,z,t) . \tag 1$$ Si desea una solución general para esta ecuación, debe especificar una condición inicial. En ausencia de eso, exploremos algunas soluciones particulares, y particularmente, exploremos las separables, es decir, soluciones de la forma $$\psi(x,y,z,t) = \phi(x,t)\chi(y,t)\xi(z,t). \tag 2$$ Si conectas esto a$(1)$, es fácil ver que una condición suficiente para$(1)$mantener es si cada una de las ecuaciones individuales de Schrödinger 1D se cumple: $$\begin{align} i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\phi(x,t) & = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_1(x)\right]\phi(x,t) \\ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\chi(y,t) & = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + V_2(y)\right]\chi(y,t) \tag 3 \\ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\xi(z,t) & = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} + V_3(z)\right]\xi(z,t) . \end{align}$$ (Esto también resulta ser una condición necesaria . La ecuación completa$(1)$, cuando se divide por$\psi(x,y,z,t)$, se reduce a una suma de tres términos, cada uno de los cuales depende exclusivamente de$x$,$y$y$z$, respectivamente, en fijo$t$. Esto solo es posible si los tres términos son uniformemente cero).

¿Cómo se relaciona esto con tu pregunta? En tu ejemplo,$V_2(y)=0=V_3(z)$, por lo que puede encontrar una base de soluciones TDSE de la forma

$$\chi_k(y,t)=e^{i(ky-\omega_k t)}, \quad \xi_k(z,t)=e^{i(kz-\omega_k t)},$$ con$\omega_k = \frac{\hbar}{2m} k^2$. El ejemplo específico que ha encontrado utiliza el caso especial de$\chi_k(y,t)$y$\xi_k(z,t)$con$k=0$. Esto actúa para enmascarar lo que realmente está sucediendo: su solución parece un problema 1D, porque en realidad son tres soluciones 1D en producto tensorial entre sí, y dos de ellas son triviales.

Entonces, con eso como trasfondo, para abordar su pregunta:

¿Significa eso que incluso para potenciales 1d, uno puede tener soluciones que no son 1d?

si, absolutamente Cualquier solución de la$y$y$z$Las ecuaciones de Schrödinger funcionarán aquí.

Ahora, todavía hay un sentido en el que esas soluciones son "efectivamente 1D", sin embargo, en el sentido de que ninguna de las ecuaciones de Schrödinger 1D separadas se comunican entre sí, y la función de onda permanece separable. Y esto plantea la pregunta: ¿existen soluciones que no sean separables?

La respuesta allí, de nuevo, es: sí, absolutamente . Debido a la linealidad de la ecuación de Schrödinger, dadas dos soluciones TDSE separables$\psi_1(x,y,z,t) = \phi_1(x,t)\chi_1(y,t)\xi_1(z,t)$y$\psi_2(x,y,z,t) = \phi_2(x,t)\chi_2(y,t)\xi_2(z,t)$, su combinación lineal

$$\psi(x,y,z,t) = \psi_1(x,y,z,t) + \psi_2(x,y,z,t)$$ es también una solución TDSE. Y resulta que si los componentes individuales$\psi_1(x,y,z,t)$y$\psi_2(x,y,z,t)$son lo suficientemente diferentes (digamos, como una posible condición suficiente,$\chi_1(y,t)$y$\chi_2(y,t)$son ortogonales), entonces se puede demostrar que la combinación lineal$\psi(x,y,z,t)$no se puede escribir como un producto de soluciones 1D individuales.

La respuesta es no. Está mezclando dominios de sus funciones, razón por la cual está obteniendo ese resultado. Hay una diferencia muy grande entre un potencial tridimensional que depende sólo de$x$y un potencial unidimensional adecuado. Recuerde que una función se define estableciendo dominios y luego una regla. La regla puede ser la misma, pero los dominios difieren. Por ejemplo, si tenemos$f(x)=x$y$g(x,y,z)=x$, estas son funciones muy diferentes; uno es una función de$\mathbb{R}$a$\mathbb{R}$, mientras que la otra es una función de$\mathbb{R}^3$a$\mathbb{R}$($f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$,$g:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}$).

Digamos que tenemos dos potenciales,$V_1$y$V_2$. Estos dan los mismos resultados para todos$x$, pero$V_1$es una función de una variable y$V_2$una función de tres. Para el potencial unidimensional, tenemos

$$\begin{align} V_1&: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ i\hbar\partial_t\langle x|\phi(t)\rangle&=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_x\langle x|\phi(t)\rangle+V_1(x)\langle x|\phi(t)\rangle \end{align}$$ Tenga en cuenta que esto es en una dimensión: el laplaciano se convierte en$\partial^2_x$y$|\phi(t)\rangle$es una función de$x$solo. Ahora, pasemos a tres dimensiones: $$\begin{align} V_2&: \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\\ i\hbar\partial_t\langle x,y,z|\psi(t)\rangle&=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\langle x,y,z|\psi(t)\rangle+V_2(x)\langle x,y,z|\psi(t)\rangle \end{align}$$ Tenga en cuenta que$V(x)$permanece exactamente igual en forma, pero ahora está en el contexto del espacio tridimensional; hemos ampliado el dominio. Así, ahora las soluciones son de la forma$\psi(x,y,z,t)$, pero las soluciones en el primer caso están en la forma$\phi(x,t)$. Una vez más, estos no son lo mismo, y$V_1$y$V_2$no son lo mismo; mientras dan la misma respuesta para cualquier$x$, sus dominios son diferentes y por lo tanto son funciones diferentes. Así que no, no puedes tener soluciones tridimensionales para un problema unidimensional.

Para mostrar esto, solo necesitamos mostrar que$\partial\psi/\partial y$y$\partial\psi/\partial z$son cero.

No, esto está mal. Estos no necesitan ser cero.

En cambio, puedes resolver la ecuación de Schrödinger

$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}(x,y,z,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(x,y,z,t)+\mathcal{V}(x)\psi(x,y,z,t).$$ por separación de variables con el enfoque $$\psi(x,y,z,t)=A(x)B(y)C(z)D(t).$$ dónde$A$,$B$,$C$y$D$son funciones desconocidas de una sola variable.
Entonces usted encuentra fácilmente las soluciones para el$y$-,$z$- y$t$-partes dependientes $$\begin{align} B(y)&=B_0e^{ik_y y} \\ C(z)&=C_0e^{ik_z z} \\ D(t)&=D_0e^{-i\omega t} \end{align}$$ dónde$k_x$,$k_y$y$\omega$son constantes reales arbitrarias.
Y te queda una ecuación diferencial ordinaria para el$x$-parte dependiente: $$\left(\hbar\omega-\frac{\hbar^2(k_y^2+k_z^2)}{2m}\right)A(x)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2A(x)}{dx^2}+\mathcal{V}(x)A(x).$$