¿Son los átomos inestables en d≥4d≥4d\geq 4 dimensiones espaciales cuando se tiene en cuenta la mecánica cuántica?

En primer lugar, tenga en cuenta que diferentes autores no están de acuerdo sobre cuál debería ser el potencial de Coulomb$V$en$d$espacial$^1$dimensiones. Supondremos que cumple la ley de Gauss, es decir

Aquí solo discutiremos el átomo de hidrógeno mecánico cuántico con$d\geq 3$. Normalicemos el hamiltoniano como

Para una discusión rigurosa de operadores ilimitados , dominios y extensiones autoadjuntas , etc., véase, por ejemplo, Ref. 1 y referencias en el mismo. Resumamos aquí los resultados:

• El átomo de hidrógeno en tres dimensiones espaciales$d=3$es estable y tiene estados ligados.

• Cuatro dimensiones espaciales$d=4$es un caso límite interesante, donde el potencial de Coulomb y el potencial centrífugo tienen el mismo$1/r^2$comportamiento. Si definimos una constante adimensional

  $$Z~:=~\frac{2me_{d=4}^2}{\hbar^2},\tag{3}$$ entonces hay tres casos, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE:

  1. $Z\leq 0$: El hamiltoniano (2) no tiene estados ligados, es decir, el átomo de hidrógeno está ionizado.

  2. $Z>1$: El hamiltoniano (2) no está acotado por abajo, es decir, el átomo de hidrógeno es inestable.

  3. $0<Z\leq 1$: Es posible definir condiciones de contorno asintóticas (ABC) en$r=0$/ Extensiones autoadjuntas del hamiltoniano, de modo que el espectro está acotado desde abajo. Algunas de estas extensiones tienen estados vinculados, otras no.

• En más de cuatro dimensiones espaciales$d>4$, el átomo de hidrógeno es inestable. En términos generales, por$d>4$el potencial de Coulomb (1) domina el$1/r^2$potencial centrífugo en un radio suficientemente pequeño$r$cerca del núcleo. La inestabilidad puede demostrarse rigurosamente mediante, por ejemplo, el método variacional , cf. el siguiente teorema.

  Teorema. Un atractivo potencial de ley de potencia singular

  $$V(r)~\propto~ -r^{-n}, \qquad n~>~2,\tag{4}$$ tiene un espectro ilimitado desde abajo, es decir, no tiene estado fundamental y es inestable.

  Prueba del teorema: considere una función de onda de ensayo/prueba gaussiana normalizada

  $$\begin{align}\psi(r)~=~&Ne^{-\frac{r^2}{2L^2}} ~=~Ne^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2L^2}}, \cr \int d^dr~|\psi(r)|^2 ~=~&\langle\psi|\psi \rangle~=~1,\end{align}\tag{5}$$ dónde$N,L>0$son dos constantes. Por razones dimensionales, la constante$L$debe tener dimensión de longitud, y la constante de normalización$N$debe escalar como $$N ~\propto~ L^{-\frac{d}{2}}.\tag{6}$$ El valor esperado$\langle\psi| K|\psi \rangle$del operador de energía cinética$K=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$debe escalar como $$0~\leq~\langle\psi| K|\psi \rangle ~\propto~ L^{-2},\tag{7}$$ esencialmente porque el laplaciano$\Delta=\vec{\nabla}^2$contiene dos derivadas de posición. El valor esperado$\langle\psi| V|\psi \rangle$del potencial (4) debe escalar como $$0~\geq~\langle\psi|V|\psi \rangle ~\propto~ - L^{-n}\tag{8}$$ por razones similares. Así al elegir$L\to 0^{+}$cada vez más pequeña, la energía potencial negativa$\langle\psi| V|\psi \rangle\leq 0$supera la energía cinética positiva$\langle\psi| K|\psi \rangle\geq 0$, de modo que la energía media$\langle\psi| H|\psi \rangle$se vuelve cada vez más negativo, $$\begin{align} \langle\psi| H|\psi \rangle ~=~&\langle\psi| K|\psi \rangle + \langle\psi| V|\psi \rangle\cr ~\to~& -\infty \quad\text{for}\quad L\to 0^{+}.\end{align} \tag{9}$$ Por lo tanto, el espectro es ilimitado desde abajo.$\Box$

Referencias:

1. M. Bures & P. ​​Siegl, Annals of Physics 354 (2015) 316 , arXiv:1409.8530 .

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$^1$Se puede demostrar que para dimensiones compactas pequeñas mucho más pequeñas que el tamaño característico del átomo de hidrógeno (como predice, por ejemplo , la teoría de cuerdas ), tales dimensiones se promedian y el átomo de hidrógeno no puede sentirlas efectivamente. En otras palabras, uno efectivamente solo tiene que considerar grandes dimensiones espaciales$\cong \mathbb{R}^d$.