Es posible que esta pregunta ya se haya hecho, pero no pude encontrarla, así que avíseme si ya está allí.
Considere un potencial, y, si aplicamos esto a una ecuación de Schrödinger unidimensional, me gustaría saber la solución para la función de onda en 1D. ¿Tiene una solución analítica simple? ¿Tiene algún comportamiento oscilatorio como
PD: no estoy interesado en el átomo de hidrógeno, sino en este potencial 1D específico.
con un potencial , con la notación , las soluciones son :
y :
cuya energía es:
es el Polinomio de Laguerre Generalizado
[EDITAR] Hay 2 conjuntos diferentes de funciones básicas, consulte esta página de referencia fórmulas y
Se sabe que la ecuación de Schrödonger unidimensional con potencial de Coulomb es problemática, ya que la energía del estado fundamental diverge. Sin embargo, se puede resolver introduciendo un corte apropiado. Aquí está el resumen del artículo clásico de Loudon Átomo de hidrógeno unidimensional , que resuelve este problema:
Se muestra que el sistema mecánico cuántico que consiste en una partícula en una dimensión sujeta a una atracción de Coulomb (el átomo de hidrógeno unidimensional) tiene un estado fundamental de energía de enlace infinita, todos los estados de enlace excitados del sistema tienen una doble degeneración. . Se examina el desglose del teorema de que un sistema unidimensional no puede tener degeneración. El tratamiento ilustra una serie de propiedades comunes a la mecánica cuántica de los sistemas unidimensionales.
Aunque inicialmente se publicó en American Journal of Physics, por ser de interés únicamente académico, el artículo se ha convertido en uno de los más citados en el campo de los nanotubos de carbono, que son efectivamente sistemas unidimensionales, y donde se predijo que las energías de los excitones serían anómalamente grandes. (por supuesto, en los nanotubos hay un parámetro de corte natural: el diámetro del nanotubo). El problema es menos manifiesto en otras estructuras unidimensionales, como, por ejemplo, los hilos cuánticos de semiconductores, ya que los electrones presentes en el material fuera del hilo apantallan el potencial de Coulomb.
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