Solución de la ecuación de Schrödinger 1D para el potencial V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [cerrado]

Question

Solución de la ecuación de Schrödinger 1D para el potencial V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [cerrado]

Rajesh D.

Es posible que esta pregunta ya se haya hecho, pero no pude encontrarla, así que avíseme si ya está allí.

Considere un potencial, $V(x) = -\frac{1}{|x|}$ y, si aplicamos esto a una ecuación de Schrödinger unidimensional, me gustaría saber la solución para la función de onda en 1D. ¿Tiene una solución analítica simple? ¿Tiene algún comportamiento oscilatorio como

ψ (X, t) = PAG (X) {mi}^{i k X} {mi}^{i ω t}

$\psi(x,t) = P(x) e^{ikx}e^{i\omega t}$ Quiero decir, ¿habrá un factor como

e^{i k x}

$e^{ikx}$ ? De la búsqueda en Internet, mirando un átomo de hidrógeno unidimensional, en primer lugar, no estoy seguro de si existe alguna solución analítica, pero supongo que se sugirió que un decaimiento exponencial, algo así como

PAG (X) = {mi}^{- α X}

$P(x) = e^{-\alpha x}$ está presente. Pero no estoy seguro de la presencia de oscilaciones como

e^{i k x}

$e^{ikx}$ . Por lo tanto, agradecería algunas sugerencias y aclaraciones.

PD: no estoy interesado en el átomo de hidrógeno, sino en este potencial 1D específico.

qmecanico

Un método posible: un 1D Schr. problema con onda fct.

ϕ

$\phi$ se puede asignar a un Schr radial 3D equivalente . problema con onda radial fct.

R (r) = r ϕ (r)

$R(r)=r\phi(r)$ , cuya solución se puede encontrar en cualquier libro de texto de QM.

Vibert

@Qmechanic: el potencial es el mismo, pero la parte radial del Laplaciano no es la misma que

\partial_{r}^{2}

$\partial_r^2$ , ¿bien?

qmecanico

@Vibert: Correcto, por lo tanto, la función de onda debe redefinirse en consecuencia.

Respuestas (2)

Solución de la ecuación de Schrödinger 1D para el potencial V(x)=−1|x|V(x)=−1|x|V(x) = -\frac{1}{|x|} [cerrado]

Un método posible: un 1D Schr. problema con onda fct. $\phi$ se puede asignar a un Schr radial 3D equivalente . problema con onda radial fct. $R(r)=r\phi(r)$ , cuya solución se puede encontrar en cualquier libro de texto de QM.
@Qmechanic: el potencial es el mismo, pero la parte radial del Laplaciano no es la misma que $\partial_r^2$ , ¿bien?
@Vibert: Correcto, por lo tanto, la función de onda debe redefinirse en consecuencia.

Trimok · Answer 1

con un potencial $V(x) = - \frac{\alpha}{|x|}$ , con la notación $a = \large \frac{\hbar^2}{m \alpha}$ , las soluciones son :

{tu}_{norte}^{+} (X, t) \sim X {mi}^{- \frac{X}{norte a}} L_{norte - 1}^{1} (\frac{2 X}{norte a}) {mi}^{- \frac{1}{ℏ} {mi}_{norte} t} F o r X > 0

$u^+_n(x,t) \sim x e^{ - \large \frac{x}{na}} ~L_{n -1}^1(\frac{2x }{na}) e^{ -\frac{1}{\hbar} \large E_nt}~~for~~ x>0$

{tu}_{norte}^{+} (X, t) = 0 F o r X \leq 0

$u^+_n(x,t) = 0~for~~ x\le0$

y :

{tu}_{norte}^{-} (X, t) \sim X {mi}^{+ \frac{X}{norte a}} L_{norte - 1}^{1} (\frac{2 X}{norte a}) {mi}^{- \frac{1}{ℏ} {mi}_{norte} t} F o r X < 0

$u^-_n(x,t) \sim x e^{ + \large \frac{x}{na}} ~L_{n -1}^1(\frac{2x }{na}) e^{ -\frac{1}{\hbar} \large E_nt}~~for~~ x<0$

{tu}_{norte}^{-} (X, t) = 0 F o r X \geq 0

$u^-_n(x,t) = 0~for~~ x\ge0$

cuya energía es:

{mi}_{norte} = - \frac{1}{{norte}^{2}} (\frac{metro α^{2}}{2 ℏ^{2}})

$E_n = - \frac{1}{n^2} (\frac{m \alpha^2}{2 \hbar^2})$

$L_n^\gamma$ es el Polinomio de Laguerre Generalizado

[EDITAR] Hay 2 conjuntos diferentes de funciones básicas, consulte esta página de referencia $192$ fórmulas $20a$ y $20b$

@Trimok: Tengo dos preguntas. ¿Qué es la 'r', cómo introdujeron la 'n' y por qué necesitamos introducir la 'n'?
@RajeshD: Lo siento, hubo un error tipográfico, es un $|x|$ (no $r$ ). He editado la respuesta. el indice $n$ corresponde a las diferentes posibilidades de solución. La solución $u_n$ es un vector propio para el operador de energía (el hamiltoniano) con el valor propio $E_n$ . El conjunto de $u_n$ es una base para cualquier solución general, es decir, cualquier solución general $u(x,t)$ puede ser escrito $u(x,t) = \sum \lambda^n u_n(x,t)$ , donde el $\lambda^n$ son coeficientes complejos.
@RajeshD: Para la introducción práctica de $n$ , la primera idea (como lo indica Qmechanic) es comenzar con un problema "3D", es decir, un átomo de hidrógeno . Sabemos que, en este caso, la energía está cuantificada y los niveles de energía están indicados por un número entero. $n$ . El $1D$ la solucion es mas o menos $r$ veces la parte radial del $3D$ solución, con tomar $l=0$ (porque no hay momento angular en $1D$ )
@Trimok: me resultaría difícil ver la amplitud en $x=0$ es cero a pesar de que es un campo de fuerza atractivo.
Esto significa que la probabilidad de encontrar la partícula en $x=0$ es cero De hecho, podemos tratar de pensar clásicamente. Si el potencial es muy grande en $x=0$ , clásicamente eso significa que la velocidad es muy grande en $x=0$ , por lo que la partícula pasa muy poco tiempo alrededor $x=0$ , por lo que la probabilidad de encontrar la partícula es muy pequeña alrededor $x=0$ .
Lo que me sorprende es que no parece que tengamos soluciones con paridad impar. Para todos $n$ , tenemos $u_n(-x) = u_n(x)$ , mientras que esperaría algunas soluciones con $u_n(-x) = -u_n(x)$ porque el hamiltoniano conmuta con el operador de paridad. ¿Hay una razón simple por la que no vemos soluciones extrañas?
@Lagerbaer: Aquí $Pu_n(x) = u_n(-x)=u_n(x)$ . Así que me parece que no hay una nueva solución.
Trimok: Sospecho que cualquier cuantización debería ocurrir en 1-D. Supongo que has adoptado la cuantización de 3-D a ciegas. Mirando la ecuación diferencial sin apenas condiciones de contorno y simetría perfecta, dudo que sea necesaria una cuantización.
@RajeshD: he editado la respuesta, porque hay sutilezas: consulte esta página de referencia $192$ fórmulas $20a$ y $20b$ . De hecho, hay 2 conjuntos de funciones. $u^+_n$ y $u^-_n$ , que sólo se definen, respectivamente, en $x>0$ y $x<0$
@Trimok: "clásicamente, eso significa que la velocidad es muy grande en x = 0, por lo que la partícula gasta muy poco tiempo alrededor de x = 0", buena, pero no quiero poner mi dinero en eso. Creo que es bastante dudoso en el mejor de los casos.
@RajeshD: "Creo que, en el mejor de los casos, es bastante dudoso". Probablemente tengas razón... Pero el hecho de que la función de onda sea exactamente cero en $x=0$ es una cosa, y el hecho de que la función de onda esté concentrada en algún intervalo (de tamaño $na$ ) alrededor $x=0$ , es otra cosa.
@Trimok: $u_n(x)$ es continua en $x = 0$ , lo que significa dame alguna probabilidad $P$ , por pequeño que sea, puedo encontrar un $\epsilon$ tal que la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo $(-\epsilon,\epsilon)$ es más pequeña que $P$ .
@Trimok: estoy leyendo su referencia. Mientras tanto una cosa interesante. La probabilidad de desaparecer en el centro no parece surgir en el átomo de hidrógeno tridimensional. Compruebe la función de onda del orbital 1s del átomo de hidrógeno, de la forma $\psi_{1s}(r) = a e^{-kr}$ , dónde $k$ y $a$ son algunas constantes y $r$ es la distancia radial desde el núcleo.
@RajeshD: $\psi_{1s}$ corresponden a las $l=0$ . Para el caso general $l>0$ , usted tiene un $r^l$ coeficiente, por lo que la función de onda es 0 en $x=0$
Por cierto, todo potencial atractivo unidimensional tiene un estado ligado.
@Lagerbaer; (Hice una edición en mi respuesta anterior que no fue lo suficientemente rigurosa). Sí, pero esto debería ser cierto para otras dimensiones, ¿no? ¿Me parece que hay una equivalencia entre el potencial atractivo y los estados ligados?
Gracias por publicar el papel. Es realmente interesante y nada intuitivo que la singularidad del potencial de Coulomb sea, esencialmente, una barrera potencial. Con respecto a los estados ligados, en 2D y 3D puedes tener potenciales atractivos que son demasiado débiles para atrapar un electrón.
@Lagerbaer: ¿Podría dar un ejemplo de tal potencial 2D o 3D? Gracias.
Aquí hay un ejemplo, al final, para el pozo de potencial esféricamente simétrico: en.wikipedia.org/wiki/Finite_potential_well
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roger vadim · Answer 2

Se sabe que la ecuación de Schrödonger unidimensional con potencial de Coulomb es problemática, ya que la energía del estado fundamental diverge. Sin embargo, se puede resolver introduciendo un corte apropiado. Aquí está el resumen del artículo clásico de Loudon Átomo de hidrógeno unidimensional , que resuelve este problema:

Se muestra que el sistema mecánico cuántico que consiste en una partícula en una dimensión sujeta a una atracción de Coulomb (el átomo de hidrógeno unidimensional) tiene un estado fundamental de energía de enlace infinita, todos los estados de enlace excitados del sistema tienen una doble degeneración. . Se examina el desglose del teorema de que un sistema unidimensional no puede tener degeneración. El tratamiento ilustra una serie de propiedades comunes a la mecánica cuántica de los sistemas unidimensionales.

Aunque inicialmente se publicó en American Journal of Physics, por ser de interés únicamente académico, el artículo se ha convertido en uno de los más citados en el campo de los nanotubos de carbono, que son efectivamente sistemas unidimensionales, y donde se predijo que las energías de los excitones serían anómalamente grandes. (por supuesto, en los nanotubos hay un parámetro de corte natural: el diámetro del nanotubo). El problema es menos manifiesto en otras estructuras unidimensionales, como, por ejemplo, los hilos cuánticos de semiconductores, ya que los electrones presentes en el material fuera del hilo apantallan el potencial de Coulomb.

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