Un resultado bien conocido de la mecánica cuántica es que para una sola partícula en una dimensión en un límite potencial eso va a como , las funciones propias de energía son discretas y las la función propia tiene exactamente nodos en los que . (Además, podemos decir más, por ejemplo, entre dos nodos consecutivos en el función propia, existe un nodo en la la función propia.)
¿Se aplican resultados similares para partículas individuales en más de una dimensión, o para sistemas de múltiples partículas (para los cuales la función de onda se define en el espacio de configuración en lugar del espacio real)? Si no, ¿hay algún ejemplo explícito de un sistema multipartícula o de dimensiones superiores cuya función de onda del estado fundamental tenga un nodo?
El resultado es realmente aplicable al movimiento equivalente a 1d y, como tal, es aplicable a la parte radial de la ecuación de Schrödinger en cualquier dimensión si esta parte radial se puede separar.
En general, el giro es que el movimiento 1d equivalente depende del potencial efectivo ; en el caso de un potencial central 3D, el potencial 1d efectivo incluiría la parte centrífuga proporcional a - por lo que el resultado puede depender del momento angular o puede depender de otros parámetros en el potencial efectivo.
Encontré la respuesta en Chemistry SE. Aparentemente, para sistemas de una partícula en más de una dimensión, el único resultado general conocido es que el número de nodos en la la función propia es , y solo en 1D la desigualdad siempre está saturada. (Consulte la respuesta para obtener más información y definiciones de términos precisas). Además, en dimensiones más altas, la secuencia de números de nodo no necesariamente aumenta; de hecho, la pregunta da un ejemplo simple y explícito de un sistema de una partícula en 3D tal que un estado de mayor excitación tiene menos nodos que un estado de menor excitación. Para sistemas multipartículas, no conozco ningún resultado general.
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parker