¿Se puede resolver la ecuación de Schrödinger para el deuterio?

Hay al menos cinco formas de tomar esta pregunta, todas ellas igualmente naturales.

1. Desde los primeros principios, un átomo de deuterio es un sistema de seis quarks y un electrón. El movimiento de los quarks es relativista, por lo que la ecuación de Schrödinger no relativista es inútil.

2. Oh, espera... Sin embargo, el término "ecuación de Schrödinger" es ambiguo. En algunos contextos, significa el SE no relativista, en otros, simplemente significa la ecuación básica para la evolución del tiempo en QM. Incluso según la última interpretación, el problema de los siete cuerpos no suele tener una solución exacta. Puede haber soluciones aproximadas. Las primeras aproximaciones que naturalmente haría serían ignorar el electrón y tratar los quarks como dos bolsas de nucleones de 3 quarks. Los nucleones son algo relativistas (v ~ 5% de c), pero no es descabellado mirar una imagen no relativista. Luego, hay soluciones aproximadas bastante decentes que le dicen ciertas cosas, por ejemplo, que el estado fundamental tiene espín 1 y que no hay estados excitados ligados. Tales soluciones van a ser aproximadas en parte porque no tenemos una forma exacta de resolver QCD. De hecho, los físicos de estructuras nucleares normalmente ni siquiera intentan usar QCD. Utilizan modelos fenomenológicos.

3. Similar a 1, pero sin considerar siquiera la posibilidad de tratar los quarks por separado.

4. Para un físico atómico, su pregunta es obviamente una pregunta sobre el espectro observable a escala eV, que tiene que ver principalmente con el movimiento del electrón. Una excelente aproximación es simplemente usar la masa reducida y, de lo contrario, aplicar la solución conocida para el átomo de hidrógeno. Los efectos de orden superior serían cosas como el acoplamiento entre el momento dipolar magnético del electrón y el del deuterón. Estos se tratarían a través de la teoría de la perturbación y serían precisos con muchos decimales. Debido a que la carga Z del núcleo es pequeña comparada con la inversa de la constante de estructura fina (137), los resultados teóricos serán vergonzosamente buenos y el experimento nunca podrá brindarnos pruebas interesantes del modelo estándar. Para una Z más grande, acercándose a 137,

5. A un físico de estructuras nucleares nunca se le ocurriría que su pregunta pudiera ser sobre otra cosa que no sea la física de la estructura nuclear del deuterón a energías de escala MeV. Ver 2.

El átomo de hidrógeno consiste en un protón de masa$m_p$junto con un electrón de masa$m_e$. La interacción entre ellos es el potencial de Coulomb entre dos cargas puntuales

Las energías de los estados ligados se dan como

En este modelo se ignoran tres efectos:

(i) Se supone que la masa del protón es infinita. La masa finita del protón se tiene en cuenta fácilmente reemplazando$m_e$por$\mu = \frac{ m_e m_p}{m_e + m_p }$que se llama la masa reducida del electrón y el protón.

(ii) el electrón y el protón actúan un poco como dipolos magnéticos y hay una interacción entre ellos, esto es mucho menor que el potencial de Coulomb.

(iii) El protón no es una carga puntual y tiene una distribución de carga. Esto significa que las soluciones (energías propias y funciones de onda propias) obtenidas para cargas puntuales no son válidas, pero tienen un efecto pequeño.

(Hay otros efectos, demasiados para incluirlos aquí, por ejemplo, efectos relativistas).

Para el deuterio, el hecho más importante a tener en cuenta es que el núcleo consta de un protón y un neutrón que se llama deuterón. El neutrón está descargado, por lo que la carga nuclear sigue siendo$+ e$.

El efecto más grande sigue siendo el efecto de masa, ahora reemplazas$m_e$por$\mu = \frac{ m_e m_d}{m_e + m_d }$dónde$m_d$es la masa del deuterón (que es aproximadamente el doble de la masa del protón).

Diría que se puede aproximar muy bien con recursos computacionales, pero no se puede resolver analíticamente. Esto se debe simplemente al hecho de que tiene un problema de tres cuerpos y no hay ninguna solución analítica para eso.

Este es un problema de dos cuerpos para el cual existen soluciones exactas de las ecuaciones de Schrödinger y Dirac con la misma precisión que para el átomo de hidrógeno protónico. Las diferencias entre el protón y el deuterón son:

• masa. Esto conduce a una masa reducida ligeramente diferente.
• radio. El deuterón tiene un radio de aproximadamente 2 fm en comparación con 0,84 fm .
• girar. El deuterón tiene espín 1 mientras que el protón tiene espín 1/2. El espín nuclear generalmente se desprecia en el problema del hidrógeno, ya sea que se trate con la ecuación de Schrödinger o la de Dirac.
• Momentos magnéticos y cuadripolares. El protón y el deuterón tienen diferentes momentos magnéticos. El deuterón también tiene un momento cuadripolar . Estos momentos contribuyen a las interacciones hiperfinas del átomo de hidrógeno. Estos pueden tratarse en la teoría de perturbaciones tanto en protio como en deuterio.