Función de onda radial del hidrógeno infinito en r=0r=0r=0

La probabilidad infinitesimal de que el electrón esté en el volumen$dV$alrededor de un punto$(r,\theta,\phi)\leftrightarrow (x,y,z)$es dado por

Entonces$|R(r)|^2$todavía puede ir como$1/r^2$Para pequeños$r$y en ese caso,$dV$será proporcional a$dr$veces una función que es finita para$r\to 0$. Semejante$dP$puede estar integrado y no hay divergencia en absoluto cerca$r=0$.

Es por eso que uno debe permitir que la función de onda sea como$1/r$cerca$r=0$que es la verdadera contrapartida de la función de onda unidimensional siendo finita cerca de un punto. Sin embargo, Nature no usa esta escapatoria en particular porque la función de onda$\psi$Para pequeños$r$en realidad escala como$r^l$dónde$l$es el número cuántico orbital y la función de onda en realidad nunca diverge aunque podría.

Actualización 2016: Debería y podría haberlo escrito hace cuatro años, pero no lo hice. Si bien la normalización permite$1/r$alrededor$r=0$, tales funciones singulares, en última instancia, no pueden estar en estados estacionarios o casi estacionarios, por la siguiente razón que difiere de varias razones anteriores y las de los comentarios.

Por ejemplo, alguien mencionó que$1/r$podría conducir a un espectro continuo o algunas degeneraciones sorprendentes. Pero si las funciones de onda correctas predijeran un espectro continuo o degenerado en una caja, entonces sería como funciona la Naturaleza. La verdadera razón por la cual$1/r$finalmente no se permite como una función de onda estacionaria cerca$r=0$es que el laplaciano de esta función de onda (y la ecuación de Schrödinger contiene tal laplaciano) es proporcional a una función delta en el origen (o contiene dicho término) y ningún otro término en la ecuación de Schrödinger puede cancelar esta función delta, por lo que el La ecuación de Schrödinger debe ser violada.

El observable físico no es la función de onda, sino su integral sobre un área finita. En coordenadas esféricas, esto es:

Este integrando es manifiestamente finito en$r=0$, incluso si$R(r)$tiene un$\frac{1}{r}$divergencia.

Para un átomo similar al hidrógeno en 3 dimensiones espaciales, la reescritura de la parte radial

no se realiza para mantener la$u(r)$parte regular, como sugiere OP, pero generalmente porque la ecuación radial 3D en términos de$u$tiene la misma forma que una ecuación de Schrödinger 1D.

Imagina que la función de onda radial va como una potencia

En términos generales, se puede imponer la siguiente lista de condiciones de consistencia, enumeradas con la condición más débil primero y la condición más fuerte al final.

1. Normalizabilidad de la función de onda

   $$\infty~>~\langle\psi|\psi\rangle~=~\int d^3r~|\psi(\vec{r})|^2 ~\propto~ \int_0^{\infty} r^{2}dr~|R(r)|^2 .$$ Integrabilidad en$r=0$da como resultado que el poder$p>-\frac{3}{2}$. En otras palabras, esta condición de normalizabilidad no implica por sí misma que$R(r)$o$u(r)$debe ser regular en$r=0$, que es también la conclusión de muchas de las otras respuestas.

2. El valor esperado de la energía potencial.$V$debe estar delimitado desde abajo,

   $$-\infty~<~\langle\psi| V|\psi\rangle~=~\int d^3r~V(r)|\psi(\vec{r})|^2~\propto~-\int_0^{\infty} rdr~|R(r)|^2.$$ Integrabilidad en$r=0$da como resultado que el poder$p>-1$. En otras palabras,$u(r)$debe ser regular para$r\to 0$.

3. El operador de energía cinética (o de manera equivalente, el laplaciano$\Delta$) debería comportarse de forma autoadjunta para dos funciones de onda$\psi_1(\vec{r})$y$\psi_2(\vec{r})$,

   $$\langle\psi_1| \Delta\psi_2\rangle~=~-\langle\vec{\nabla}\psi_1| \cdot\vec{\nabla}\psi_2\rangle,$$ sin recoger contribuciones patológicas en$r=0$. Un análisis detallado muestra que las potencias de las partes radiales de$\psi_1(\vec{r})$y$\psi_2(\vec{r})$debe satisfacer$p>-\frac{1}{2}$.

En comparación, las soluciones de estado ligado reales tienen valores no negativos.$p=\ell\in \mathbb{N}_0$, y por lo tanto cumplen estas tres condiciones.

Además de las restricciones simplemente geométricas de las que hablan Jerry y Lubos , la derivación utilizada para ilustrar el problema casi siempre asume que el protón es una partícula puntual, lo cual es una aproximación bastante buena pero no estrictamente cierta. Resolver el problema nuevamente con una función de densidad de carga de protones realista (más o menos constante dentro de un radio de aproximadamente 1 fm) sería otra forma de eliminar la singularidad.

Eso sí, este argumento no es válido para el positronio, por lo que aún necesita la restricción geométrica.

para hidrógeno,$R(r)$no diverge, como$U(r)$desaparece tan rápido como (o más rápido que)$r$como$r\rightarrow 0$. De hecho, es sólo para el$s$orbitales en los que la función de onda no es cero en$r=0$. Pero como se señaló antes, una función de onda radial distinta de cero no significa una probabilidad distinta de cero de encontrar el electrón en el centro.