¿Estado límite QM no normalizable en 4 dimensiones espaciales?

Editar 26/Sep/13: error tipográfico fijo en potencial

Estoy resolviendo el siguiente problema de mecánica cuántica (aparentemente simple) en cuatro dimensiones espaciales . En unidades naturales ( ℏ 2 / 2 metro = 1 ), la ecuación de Schrödinger dice:

[ − ∇ 2 − 24 R 2 ( X 2 + R 2 ) 2 ] ψ ( X ) = mi ψ ( X ) ,

dónde R > 0 es un parámetro que caracteriza simultáneamente la profundidad y el rango del potencial. El potencial depende solo de la distancia desde el origen, por lo que puedo separar las variables ψ = R norte yo ( r ) Y yo ( θ → ) y la ecuación radial entonces dice:

[ − ∂ 2 ∂ r 2 − 3 r ∂ ∂ r + yo ( yo + 2 ) r 2 − 24 R 2 ( r 2 + R 2 ) 2 ] R norte yo ( r ) = mi norte yo R norte yo ( r ) .

Problema: parece que he encontrado una onda s ( yo = 0 ) estado sin dispersión con energía cero mi norte yo = 0 que parece estar localizado:

R norte , yo = 0 ( r ) = norte r 2 − R 2 ( r 2 + R 2 ) 2 mi norte yo = 0.

Pero no puedo normalizar este estado "ligado" ya que la integral ∫ 0 ∞ d r r 3 | R ( r ) | 2 no converge. ¿Cuál es la naturaleza de este estado? ¿O simplemente estoy arruinando algo por completo?

Respuestas (3)

Después de la edición, el potencial es un operador acotado, por lo que el hamiltoniano está bien definido y acotado desde abajo.

Me parece que mi norte yo = 0 simplemente no es un valor propio discreto legítimo, la función propia asociada no es integrable al cuadrado.
Bien puede ser que el potencial no admita ningún estado ligado en absoluto.

Gracias por la respuesta. Si no es un valor propio discreto, ¿es un estado de dispersión?

I) Comentarios a la pregunta (v1) con potencial V ( r ) = − 24 R 2 ( r 2 − R 2 ) 2 antes de la corrección de OP:

Hay un problema mayor con el modelo de OP: afirmamos que el hamiltoniano H es ilimitado desde abajo. La idea de la prueba es similar a esta respuesta Phys.SE: es posible encontrar una familia de un parámetro de funciones de onda de prueba normalizadas ψ ϵ ( r ) , que se localizan muy cerca de las 3 esferas r = R , de tal manera que la energía cinética positiva permanece acotada, pero la energía potencial negativa diverge a − ∞ , como ϵ → 0 + , cf. el método variacional .

II) Comentarios a la pregunta (v2) con potencial V ( r ) = − 24 R 2 ( r 2 + R 2 ) 2 después de la corrección de OP:

El potencial V ( r ) ahora está delimitado

− 24 R 2   ≤   V ( r )   <   0 ,

y desde − ∇ 2 ≥ 0 es semipositivo, el hamiltoniano

H   =   − ∇ 2 + V   ≥   − 24 R 2

ahora está delimitado desde abajo. De hecho, la solución de OP satisface el TISE con mi = 0 y ℓ = 0 , y de hecho no es normalizable, como afirma OP, por lo que no pertenece al espacio de Hilbert H = L 2 ( R 4 ) de funciones de onda cuadradas integrables.

Gracias por la respuesta. Si no es un valor propio discreto, ¿es un estado de dispersión?

El espectro de un operador autoadjunto que actúa en un espacio de Hilbert se puede descomponer en tres tipos, valores propios discretos asociados con vectores propios integrables cuadrados, espectro absolutamente continuo y espectro continuo singular. El espectro discreto puede estar incrustado en un continuo, pero generalmente no lo está, y el espectro continuo singular está principalmente restringido a sistemas aleatorios. En el caso que nos ocupa, 0 es parte del espectro continuo. Se puede definir como un estado de dispersión, pero hay muchas situaciones en las que el espectro continuo no tiene nada que ver con la dispersión.

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