¿Es la acción de Einstein-Hilbert la única acción cuya variación da las ecuaciones de campo de Einstein?

En cierto sentido, sí lo es, y en otros ciertamente no lo es.

El hecho de que en las ecuaciones de campo de Einstein:$G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu}$, tienes completa 'libertad' para definir$T_{\mu \nu}$Sin embargo, le gustaría (con algún tipo de excepción), lo que significa que puede permitir que los términos dependientes de la curvatura altamente no triviales se acoplen a la energía de tensión. Vea este artículo realmente interesante de Capozziello et al ( http://arxiv.org/abs/grqc/0703067 ) que muestra cómo puede 'agrupar' los términos de curvatura adicionales para un$f(R)$gravedad en el tensor de tensión-energía 'efectivo'. De esta manera, la unicidad de lo que podría llamarse las ecuaciones de campo de 'Einstein' no se sostiene.

Sin embargo, una vez que uno se traslada al vacío, la respuesta es repentinamente un sí definitivo. Las ecuaciones de Einstein se generan al tener una acción que contiene una cantidad invariante geométrica. Si no fuera así, los principios de covarianza general ya no se mantendrían, ya que las transformaciones de coordenadas arbitrarias destruirían necesariamente las simetrías de calibre. Ahora, dicho esto, uno puede considerar el invariante geométrico Lagrangiano más general posible en este sentido, se vería algo así como ...$\mathcal{L} = f(g_{\mu \nu} R^{\mu \nu}, R^{\mu \nu} R_{\mu \nu}, R^{\alpha \beta \gamma \delta} R_{\alpha \beta \gamma \delta}, C^{\alpha \beta \gamma \delta} C_{\alpha \beta \gamma \delta}, g^{\mu \nu} R^{\alpha \beta} R_{\alpha \beta \mu \nu}...)$y la lista de posibilidades continúa. Como desea replicar las ecuaciones de Einstein en sí mismas, puede descartar inmediatamente todos los términos anteriores excepto los lineales. Cualquiera de las otras variantes cuando realizas el cálculo de variaciones te da derivadas superiores a las de segundo orden.

Ahora, manteniendo solo los términos lineales, verá que la acción será necesariamente la de Einstein-Hilbert más (quizás) algunas otras invariantes de curvatura. Dado que estos no desaparecerán una vez que realice la variación, a menos que desaparezcan de manera idéntica o desaparezcan en el límite como un término de divergencia, sus ecuaciones de campo necesariamente seguirán siendo las de Einstein-Hilbert siempre que solo mantenga$\mathcal{L} = R^{\sigma}_{\sigma}$.

Una prueba rigurosa de esto sería interesante. No conozco ninguno en la literatura.

El llamado contenido de espín de GR con respecto al grupo de Lorentz restringido está hecho de peso (también llamado espín) = 2 campos tensoriales que pueden tomarse como el campo de gravedad linealizado de Einstein y Fierz-Pauli ( esto también se conoce como el campo Pauli-Fierz, después de los artículos de Pauli y Fierz de 1939 en Helv. Phys. Acta y PRSL ). En 2000 aquí http://arxiv.org/abs/hep-th/0007220 se muestra (como un caso particular) usando la teoría de perturbación BRST (anticampo), que el vértice cúbico de la teoría del gravitón único es único, por lo tanto, el único La forma en que los gravitones pueden autoacoplarse es la acción EH + el término cosmológico.

Con respecto al punto 2 de su publicación: los términos de límite en el espacio-tiempo curvo son un tema muy delicado y se debe realizar un análisis cuidadoso. Está invitado a leer la sección correspondiente de la prueba GR de Wald.

Otra lectura útil sería todo el libro y especialmente el capítulo 8 de http://www.amazon.com/Tensors-Differential-Variational-Principles-Mathematics/dp/0486658406/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1392672388&sr=8- 1&keywords=Lovelock+Tensores

También puede agregar términos que permitan la no metricidad y la torsión de la conexión y luego restringir estos términos a cero mediante restricciones explícitas.