Acción de una partícula puntual masiva en un espacio-tiempo curvo

Los puntos finales de su acción deben ser eventos, por lo tanto, debe ser un objeto dimensional d+1. La acción debe extremarse en todos los caminos que comienzan y terminan en los puntos del espacio-tiempo dados.

Un camino puede ser parametrizado por 4 funciones de espacio y tiempo,$x^\mu(\xi)$de un objeto de un parámetro$\xi$. Por lo tanto, sería incorrecto etiquetar los puntos finales en términos de$\xi$. En cambio$\xi$debe tratarse como una etiqueta intermedia para describir caminos. De lo contrario, la forma funcional de la integral es correcta.

Depende de lo que quieras decir; esa es la acción de una partícula de prueba en un campo gravitatorio de fondo dado por una métrica$g_{\mu\nu}$. Si lo minimizas, obtendrás la ecuación geodésica. Esa NO es la acción dinámica del campo gravitacional; su partícula de prueba no cambia la curvatura del espacio-tiempo de fondo. La acción para el campo gravitatorio la de Einstein-Hilbert,

$S=\frac{1}{\kappa}\int RdV$

dónde$R$es la curvatura escalar,$\kappa$es la constante de acoplamiento.