¿La acción de Einstein-Hilbert solo contiene las primeras derivadas de la métrica?

Tendemos a usar solo lagrangianos que son una función de, como máximo, la primera derivada del campo L = L ( ϕ , ∂ m ϕ ) . Para la relatividad general, esto no debería ser diferente, ya que las ecuaciones de campo de Einstein son solo de segundo orden en la métrica. Sin embargo, ingenuamente se pensaría que el Lagrangiano en la acción de Einstein-Hilbert contiene segundas derivadas en la métrica, por la presencia del escalar de Ricci. ¿Por qué esto no es un problema?

L mi H ( gramo m v , gramo m v , α , gramo m v , α β ) = − gramo R

Si realizamos la variación, resulta que no importa. Escribiendo el Lagrangiano como − gramo gramo m v R m v la variación contiene tres términos (los dos primeros de los cuales no contienen ningún derivado de la métrica), por lo tanto

d S = ∫ d 4 X [ − 1 2 − gramo gramo m v R d gramo m v + − gramo R m v d gramo m v + − gramo gramo m v d R m v ]

Los primeros dos términos se combinan en el tensor de Einstein, dejando solo la posibilidad de un problema en el último término. Sin embargo, esto surge como una derivada total que podemos ignorar. Curiosamente, la prueba de esto usa la identidad de Palatini que no parece depender de la expresión de los símbolos de Christoffel usando derivados de la métrica, sino solo de sus propiedades generales como conexión.

Así que parece que tuvimos suerte aquí, pero ¿hay una razón más profunda por la que funcionó?

Respuestas (1)

Es más fácil demostrarlo en el formalismo de gravedad de primer orden que involucra tanto a la tétrada mi (que es una especie de raíz cuadrada de la métrica gramo ∼ mi 2 , vea aquí para más explicaciones) y la conexión de espín ω . Vale la pena señalar que la esencia del enfoque Palatini (aludido en OP) es tratar la métrica y la conexión (afín) como variables independientes. Para recalcar el punto: el ingrediente clave de la prueba es introducir una variable de conexión independiente, ya sea una conexión de espín o una conexión afín.

Ahora los detalles:

La acción de la gravedad se puede escribir heurísticamente (olvidando las minucias de los índices de Lorentz y el producto externo entre formas diferenciales) como

S ∼ ∫ mi 2 ( d ω + ω 2 ) .

Las ecuaciones de gravedad se pueden obtener variando la acción con mi y ω independientemente _

Variando con mi rendimientos

2 mi ( d ω + ω 2 ) ∼ T ,
dónde T es el tensor de energía-momento. La conexión de giro ω se determina variando la acción con ω que a su vez da la condición de torsión cero en caso de corriente de espín cero de los fermiones:
d mi + mi ω = 0.
Por lo tanto ω es la primera derivada de mi y métrico gramo ∼ mi 2
ω ∼ d mi / mi ∼ d gramo / mi 2 .
Sustituyendo lo anterior en
2 mi ( d ω + ω 2 ) ∼ T
muestra que la ecuación del campo de gravedad comprende solo derivadas de segundo orden.

Para resumir: dado que variamos la acción de la gravedad con mi mientras lo esté agarrando ω constante, la acción de la gravedad mi 2 ( d ω + ω 2 ) y lado izquierdo de la ecuación del campo de gravedad 2 mi ( d ω + ω 2 ) comparten el mismo término R de curvatura

R = d ω + ω 2 ,
sin más variación de la curvatura R contra la métrica.

¿Significa esto que el formalismo de Palatini es en esencia más fundamental?
@Kasper, la tétrada mi y conexión de giro ω son indispensables para una teoría bien definida que acople la gravedad con fermiones/corriente de espín. Yo consideraría la gravedad dotada de mi y ω más fundamental, ya que una teoría gravitacional fundamental debería ser capaz de acomodar fermiones y espines.
¿La acción de Einstein-Hilbert solo contiene las primeras derivadas de la métrica?
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